Существует ли решение уравнения a) x^4+xy-6=0 для пары чисел (2; 5)? b) x^3+2xy=12. Пожалуйста, постройте график

Дмитриевна

68

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

a) Для начала, чтобы определить, существует ли решение уравнения \(x^4+xy-6=0\) для пары чисел (2; 5), мы подставим значения \(x = 2\) и \(y = 5\) в уравнение и проверим, выполняется ли оно.

Подставляя значения, получим:

\((2)^4 + (2)(5) - 6 = 16 + 10 - 6 = 26 - 6 = 20\)

Таким образом, в данном случае уравнение не выполняется (\(20 \neq 0\)). Значит, данная пара чисел (2; 5) не является решением этого уравнения.

b) Для уравнения \(x^3 + 2xy = 12\) построить график, нам нужно найти несколько точек, которые удовлетворяют этому уравнению. Давайте рассмотрим несколько случаев для нахождения таких точек.

- Пусть \(x = 0\). Тогда уравнение принимает вид:
\(0^3 + 2(0)y = 12\)
\(0 + 0 = 12\)

Получаем ложное уравнение. Значит, \(x = 0\) не удовлетворяет уравнению.

- Пусть \(y = 0\). Тогда уравнение принимает вид:
\(x^3 + 2x(0) = 12\)
\(x^3 = 12\)

Чтобы найти значения \(x\), возведем обе стороны уравнения в куб:
\(x = \sqrt[3]{12}\)

Приближенно:
\(x \approx 2.289\)

Таким образом, при \(y = 0\) найдено одно решение: \(x \approx 2.289\).

- Теперь рассмотрим случай \(y \neq 0\) и \(x \neq 0\). Делаем следующие замены:
\(x = t\)
\(y = \frac{12 - t^3}{2t}\)

Полученные формулы позволяют нам выразить переменные \(x\) и \(y\) через параметр \(t\). Построим график, используя эти формулы.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & y \\
\hline
-2 & -2 \\
-1 & \frac{9}{2} \\
0 & \text{не определено} \\
1 & -5 \\
2 & -2 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, получаем несколько точек на графике: (-2, -2), (-1, 4.5), (1, -5), (2, -2). Можем соединить эти точки и получить график уравнения \(x^3 + 2xy = 12\).

Построим график для уравнений:

a) \[y = 1\]

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-5, xmax=5,
ymin=-5, ymax=5,
xtick={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
ytick={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
legend pos=outer north east,
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
width=10cm,
height=10cm,
axis lines=middle,
enlargelimits={abs=0.5},
]
\addplot[domain=-5:5, blue, thick, samples=100] {1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

b) \((x + 2)(y - 3) = 0\)

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-5, xmax=5,
ymin=-5, ymax=5,
xtick={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
ytick={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
legend pos=outer north east,
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
width=10cm,
height=10cm,
axis lines=middle,
enlargelimits={abs=0.5},
]
\addplot[domain=-4.5:-2.5, red, thick, samples=100] {3};
\addplot[domain=-1.5:-2, red, thick, samples=100] {3};
\addplot[domain=-1.5:-0.5, red, thick, samples=100] {3};
\addplot[domain=1.5:2.5, red, thick, samples=100] {3};
\addplot[domain=1.5:2, red, thick, samples=100] {3};
\addplot[domain=2.5:3.5, red, thick, samples=100] {3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

На графике a) видно, что уравнение графически представляет собой горизонтальную прямую \(y = 1\). На графике b) мы видим две вертикальные прямые: \(x = -2\) и \(x = 3\), так как \(y\) обращается в ноль, когда \((x + 2)(y - 3) = 0\).

Надеюсь, это помогло вам разобраться с задачами! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!