Test on the topic Regular Polygons . 1. One of the internal angles of a regular n-gon is equal to 150°. Find the number

Evgeniya

10

Пожалуйста, вот решение вашего теста на тему "Регулярные многоугольники":

1. Для решения этой задачи мы можем использовать свойство регулярных многоугольников, которое гласит: "Сумма всех внутренних углов регулярного многоугольника равна \( (n-2) \times 180^{\circ} \)", где \( n \) - количество сторон многоугольника.
В данном случае нам известно, что один из внутренних углов равен \( 150^{\circ} \). Подставим это значение в формулу и решим уравнение:
\((n-2) \times 180^{\circ} = 150^{\circ}\)
\(n-2 = \frac{150^{\circ}}{180^{\circ}}\)
\(n-2 = \frac{5}{6}\)
\(n = \frac{5}{6} + 2\)
\(n = \frac{17}{6}\)
Ответ: нельзя иметь дробное количество сторон у многоугольника, поэтому ответом является "некорректный вопрос".

2. Для нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника, мы можем использовать формулу \(R = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - длина стороны многоугольника.
В данном случае длина стороны шестиугольника равна 3 см. Подставим это значение в формулу и решим:
\(R = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \times \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ответ: Вариант ответа C, радиус описанной окружности равняется \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см.

3. Чтобы найти радиус вписанной окружности вокруг правильного треугольника, мы можем использовать формулу \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны многоугольника.
В данном случае длина стороны треугольника равна \(4\sqrt{3}\) см. Подставим это значение в формулу и решим:
\(r = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3^2}}{6} = \frac{4 \times 3}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
Ответ: Вариант ответа B, радиус вписанной окружности равняется 2 см.

4. Чтобы найти длину стороны правильного четырехугольника, для которого задан радиус описанной окружности, мы можем использовать формулу \(a = 2R\sin(\frac{\pi}{n})\), где \(a\) - длина стороны многоугольника, \(R\) - радиус описанной окружности, \(n\) - количество сторон многоугольника.
В данном случае радиус описанной окружности равен 5 см. Подставим это значение в формулу и решим для четырехугольника (n = 4):
\(a = 2 \times 5 \times \sin(\frac{\pi}{4}) = 10 \times \sin(\frac{\pi}{4})\)
Радианы используется для sin, поэтому заменим \(\frac{\pi}{4}\) на 45 градусов:
\(a = 10 \times \sin(45^{\circ}) = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\)
Ответ: Вариант ответа C, длина стороны четырехугольника равняется \(5\sqrt{2}\) см.

5. Чтобы найти радиус описанной окружности вокруг правильного пятиугольника, мы можем использовать формулу \(R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\), где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - длина стороны многоугольника, \(n\) - количество сторон многоугольника.
В данном случае задан радиус описанной окружности, но нет значения для стороны пятиугольника.