Требуется найти: AD, при условии, что AB перпендикулярна а, AC равно 6 под корнем из 2, угол ACB составляет

Константин

27

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрией и геометрией. Первым шагом определим значения всех известных сторон и углов.

Мы знаем, что AC равно 6 под корнем из 2, угол ACB равен 30 градусов, а угол BAD равен 45 градусов.

Теперь сосредоточимся на треугольнике ABC.

Используя определение тангенса, мы можем записать следующее уравнение:

\(\tan(ACB) = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Так как угол ACB равен 30 градусов, подставим значение и решим уравнение:

\(\tan(30^\circ) = \frac{{BC}}{{6\sqrt{2}}}\)

Значение тангенса 30 градусов равно \(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\), поэтому уравнение становится:

\(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{BC}}{{6\sqrt{2}}}\)

Умножим оба выражения на \(6\sqrt{2}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(BC = \frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} \cdot 6\sqrt{2}\)

Упростим это выражение:

\(BC = \frac{{36}}{{\sqrt{3}}}\sqrt{2} = \frac{{36\sqrt{6}}}{{3}} = 12\sqrt{6}\)

Теперь у нас есть значение стороны BC, равное \(12\sqrt{6}\).

Теперь обратимся к треугольнику ABD.

Мы знаем, что угол BAD равен 45 градусов, и сторона BC равна \(12\sqrt{6}\).

Для определения значения стороны AD воспользуемся косинусной теоремой:

\(AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(BAD)\)

Подставим известные значения:

\(AD^2 = 6^2 + (12\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 12\sqrt{6} \cdot \cos(45^\circ)\)

Выполним вычисления:

\(AD^2 = 36 + 288 - 144\sqrt{6} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = 324 - 72\sqrt{6}\)

Значение стороны AD равно квадратному корню из этого выражения:

\(AD = \sqrt{324 - 72\sqrt{6}}\)

Чтобы упростить это радикальное выражение, заметим, что \((a - \sqrt{b})^2 = a^2 - 2ab + b\). Следовательно:

\[AD = \sqrt{324 - 72\sqrt{6}} = \sqrt{(18 - 6\sqrt{6})^2} = 18 - 6\sqrt{6}\]

Итак, длина стороны AD равна \(18 - 6\sqrt{6}\).