У Васи есть 30 купюр разного номинала: 10, 15 и 20 рублей. Подсчитав свои деньги, Вася обнаружил, что у него всего
У Васи есть 30 купюр разного номинала: 10, 15 и 20 рублей. Подсчитав свои деньги, Вася обнаружил, что у него всего 500 рублей. Докажите, что количество 20-рублевых купюр у Васи больше, чем количество 10-рублевых.
Зоя 3
Для решения этой задачи воспользуемся методом математической индукции.Шаг 1: Обоснование базового случая
Посмотрим на минимально возможное количество купюр каждого номинала, при котором у Васи сумма составляет 500 рублей. Если бы у Васи было по одной купюре каждого номинала (то есть 10, 15 и 20 рублей), сумма составила бы 45 рублей. Если у Васи не было бы ни одной 10-рублевой купюры, а вместо этого у него было бы две 15-рублевых и одна 20-рублевая купюра, сумма составила бы 50 рублей. Таким образом, базовый случай доказан.
Шаг 2: Формулирование предположения
Предположим, что у Васи существует некоторый набор купюр каждого номинала (10, 15 и 20 рублей), при котором сумма составляет 500 рублей, и при этом количество 20-рублевых купюр меньше, чем количество 10-рублевых.
Шаг 3: Доказательство индукцией
а) Предположим, у Васи есть некоторый набор купюр каждого номинала, в котором количество 20-рублевых купюр меньше на 1, чем количество 10-рублевых. Обозначим это количество как \(k\) (где \(k \geq 1\)). Тогда количество 20-рублевых купюр будет равно \(k\) и количество 10-рублевых купюр будет равно \(k+1\).
б) После этого добавим одну 10-рублевую купюру и возьмем вместо нее две 20-рублевых купюры. Теперь количество 20-рублевых купюр будет равно \(k+2\), а количество 10-рублевых купюр будет равно \(k+1\). Таким образом, мы имеем новый набор купюр, в котором количество 20-рублевых купюр больше на 1, чем количество 10-рублевых.
в) Следовательно, если у Васи существует некоторый набор купюр, в котором количество 20-рублевых купюр меньше, чем количество 10-рублевых, то существует и набор, в котором количество 20-рублевых купюр больше, чем количество 10-рублевых.
Шаг 4: Заключение
Исходя из предположения и доказательства, можно сделать вывод, что количество 20-рублевых купюр у Васи больше, чем количество 10-рублевых.
Таким образом, доказано, что количество 20-рублевых купюр у Васи больше, чем количество 10-рублевых.