В 10-м классе: рассчитайте значение выражения i6+i20+i30+i36+i54

Золотой_Горизонт

46

Данная задача связана с комплексными числами. Чтобы решить ее, нужно знать свойства комплексных чисел и формулы для возведения в степень.

Выражение, которое нужно вычислить:
\[i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54}\]

Для начала, давайте вспомним, что число \(i\) - это мнимая единица, которая определяется как квадратный корень из -1. Мы можем записать мнимую единицу в следующей форме: \(i = \sqrt{-1}\).

Теперь давайте разберемся с каждым слагаемым по очереди.

1. \(i^6\):
Для того чтобы возвести \(i\) в шестую степень, мы можем возвести его в квадрат и возвести это полученное число в квадрат еще два раза:
\[i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1\]

2. \(i^{20}\):
Данное слагаемое можно преобразовать аналогично предыдущему:
\[i^{20} = (i^2)^{10} = (-1)^{10} = (-1)^2 = 1\]

3. \(i^{30}\):
Для этого слагаемого мы также можем применить уже известную нам технику:
\[i^{30} = (i^2)^{15} = (-1)^{15} = -1\]

4. \(i^{36}\):
Применим ту же самую идею, которую использовали ранее:
\[i^{36} = (i^2)^{18} = (-1)^{18} = 1\]

5. \(i^{54}\):
Известно, что \(i^2 = -1\), поэтому:
\[i^{54} = (i^2)^{27} = (-1)^{27} = -1\]

Теперь мы можем сложить найденные значения и получить ответ:
\[i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54} = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 = -1\]

Таким образом, значение данного выражения равно -1.