В каких интервалах функция y = √(3+5x) монотонна?

Korova_9689

6

Чтобы определить интервалы, на которых функция \(y = \sqrt{3+5x}\) монотонна, мы должны проанализировать производную этой функции. Производная функции показывает нам, как меняется ее поведение на различных участках.

Для начала, мы найдем производную функции \(y = \sqrt{3+5x}\). Используя правило цепочки, производная этой функции будет равна:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} \sqrt{3+5x}
\]

Для нахождения производной, мы можем использовать следующие шаги:

1. Применим правило цепочки: если \(y = f(g(x))\), то \(\frac{{dy}}{{dx}} = f"(g(x)) \cdot g"(x)\).
2. Установим \(f(u) = \sqrt{u}\) и \(g(x) = 3 + 5x\).
3. Найдем производную \(f"(u)\) и \(g"(x)\).
4. Подставим значения в формулу правила цепочки и упростим выражение.

Применяя эти шаги, получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1}}{{2\sqrt{3+5x}}} \cdot 5 = \frac{{5}}{{2\sqrt{3+5x}}}
\]

Теперь, чтобы определить интервалы монотонности, мы должны изучить знак производной на разных участках.

Для этого, мы можем решить неравенство \(\frac{{dy}}{{dx}} > 0\) или \(\frac{{dy}}{{dx}} < 0\), чтобы найти значения \(x\), где производная положительна или отрицательна.

Заметим, что знак производной зависит от знака знаменателя \(\frac{{5}}{{2\sqrt{3+5x}}}\). Чтобы понять знак знаменателя, мы должны решить неравенство \(3+5x > 0\).

Решаем неравенство \(3+5x > 0\):

\[
5x > -3 \implies x > -\frac{{3}}{{5}}
\]

Таким образом, функция монотонно убывает при значениях \(x < -\frac{{3}}{{5}}\), и монотонно возрастает при значениях \(x > -\frac{{3}}{{5}}\).

Итак, интервалы, на которых функция \(y = \sqrt{3+5x}\) монотонно возрастает: \(x > -\frac{{3}}{{5}}\). И интервалы, на которых функция монотонно убывает: \(x < -\frac{{3}}{{5}}\).

Надеюсь, эта детальная информация помогла вам понять, в каких интервалах функция монотонна. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.