В компании 11 акционеров, из которых у троих привилегированные акции. На собрание акционеров пришло 6 человек. Найдите

Танец

52

Задача: В компании 11 акционеров, из которых у троих привилегированные акции. На собрание акционеров пришло 6 человек. Найдите вероятность того, что среди присутствующих акционеров:

а) нет всех трех акционеров с привилегированными акциями

Чтобы найти вероятность того, что нет всех трех акционеров с привилегированными акциями среди присутствующих акционеров, нам нужно определить количество способов выбрать 6 акционеров из общего числа акционеров с и без привилегированных акций и разделить это на общее количество способов выбора 6 акционеров из общего числа акционеров.

Пусть A - событие "нет всех трех акционеров с привилегированными акциями".
Тогда, чтобы найти P(A), нужно определить количество благоприятных исходов - то есть количество способов выбрать 6 акционеров без всех трех привилегированных акционеров, и поделить его на общее количество исходов - количество способов выбрать 6 акционеров из всех возможных.

Общее количество исходов (общее количество способов выбрать 6 акционеров из всех возможных): C(11, 6) (сочетание из 11 по 6)

Количество благоприятных исходов (количество способов выбрать 6 акционеров без всех трех привилегированных акционеров): C(11-3, 6) (сочетание из 8 по 6)

Теперь мы можем записать формулу для P(A):

\[P(A) = \frac{{C(11-3, 6)}}{{C(11, 6)}}\]

Вычислим значения в формуле:

\[C(11-3, 6) = C(8, 6) = \frac{{8!}}{{6!(8-6)!}} = \frac{{8!}}{{6!2!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6!2 \cdot 1}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2}} = 28\]
\[C(11, 6) = \frac{{11!}}{{6!(11-6)!}} = \frac{{11!}}{{6!5!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6!5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 462\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить P(A):

\[P(A) = \frac{{28}}{{462}} = \frac{{4}}{{77}}\]

Таким образом, вероятность того, что в среди присутствующих акционеров нет всех трех акционеров с привилегированными акциями, равна \(\frac{{4}}{{77}}\).

б) двое присутствуют и один отсутствует

Аналогично, чтобы найти вероятность того, что два акционера присутствуют, а один отсутствует, мы должны определить количество благоприятных исходов (количество способов выбрать 6 акционеров, включающих двух присутствующих и одного отсутствующего), и поделить его на общее количество исходов (количество способов выбрать 6 акционеров из всех возможных).

Пусть B - событие "двое присутствуют и один отсутствует".

Тогда, чтобы найти P(B), нужно определить количество благоприятных исходов - то есть количество способов выбрать 6 акционеров с двумя присутствующими и одним отсутствующим, и поделить его на общее количество исходов - количество способов выбрать 6 акционеров из всех возможных.

Общее количество исходов (общее количество способов выбрать 6 акционеров из всех возможных): C(11, 6) (сочетание из 11 по 6)

Количество благоприятных исходов (количество способов выбрать 6 акционеров с двумя присутствующими и одним отсутствующим): C(3, 2) * C(8, 4) (сочетание из 3 по 2 умножить на сочетание из 8 по 4)

Вычислим значения в формуле:

\[C(3, 2) = \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} = \frac{{3!}}{{2!1!}} = \frac{{3 \cdot 2!}}{{2!1}} = 3\]
\[C(8, 4) = \frac{{8!}}{{4!(8-4)!}} = \frac{{8!}}{{4!4!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4!4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 70\]
\[C(11, 6) = \frac{{11!}}{{6!(11-6)!}} = 462\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить P(B):

\[P(B) = \frac{{C(3, 2) \cdot C(8, 4)}}{{C(11, 6)}} = \frac{{3 \cdot 70}}{{462}} = \frac{{10}}{{77}}\]

Таким образом, вероятность того, что двое акционеров присутствуют, а один отсутствует среди присутствующих акционеров, равна \(\frac{{10}}{{77}}\).