В поезде есть 18 вагонов одинакового размера. В некоторых из этих вагонов свободно ровно половина всех мест, в других

Skorpion

16

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся пошагово.

По условию задачи, в поезде есть 18 вагонов, и в некоторых из этих вагонов свободно ровно половина всех мест, в других - ровно треть мест, а в остальных все места заняты.

Пусть общее количество мест в поезде равно М. Половина всех мест в поезде будет составлять \(\frac{M}{2}\), а треть мест - \(\frac{M}{3}\). Также, по условию задачи, в поезде имеется только одна девятая от общего количества мест, то есть \(\frac{M}{9}\).

Мы знаем, что количество мест в поезде равно сумме мест в каждом из 18 вагонов. Давайте обозначим количество свободных мест в каждом из вагонов, где места свободны ровно половина, как \(x\), количество свободных мест в вагонах с третью частью свободных мест как \(y\), а количество занятых мест в остальных вагонах как \(z\).

Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:

\[
\frac{M}{2}x + \frac{M}{3}y + z = \frac{M}{9}
\]
\[
x + y + z = 18
\]

Мы ищем количество вагонов, где все места заняты, то есть \(z\). Давайте решим систему уравнений, чтобы найти его значение.

Сначала, домножим первое уравнение на 18, чтобы избавиться от дробей:

\[
9x + 6y + 18z = 2M
\]

Затем, вычтем второе уравнение из этого нового уравнения:

\[
9x + 6y + 18z - (x + y + z) = 2M - 18
\]

Упростим это уравнение:

\[
8x + 5y + 17z = 2M - 18
\]

Поскольку в каждом вагоне занято ровно половина или ровно треть мест, \(x\) и \(y\) должны быть целыми числами. Кроме того, количество свободных мест не может быть отрицательным, так что \(x\) и \(y\) должны быть неотрицательными.

Кроме того, заметим, что в сумме коэффициентов при \(x\), \(y\) и \(z\) в левой части последнего уравнения получаем сумму 17. Так как уравнение должно быть верным при любых значениях \(x\), \(y\) и \(z\), справедливо равенство 17z = 2M - 18.

Если мы хотим найти число вагонов \(z\), где все места заняты, нам нужно найти значения \(z\), которые делают выражение 17z равным \(2M - 18\).

Возможные значения для \(z\) можно найти, положив \(2M - 18\) равным 0, 17, 34 и так далее. В нашем случае, так как по условию задачи всего 18 вагонов, величина \(z\) не может быть больше 18.

Подставив значения \(z = 0, 1, 2\) и так далее, мы можем найти числовые значения \(x\) и \(y\) с учетом условий \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\).

Таким образом, проанализируем значения \(z\) от 0 до 18.

При \(z = 0\), получаем уравнение \(17 \cdot 0 = 2M - 18\), что дает \(18 = 2M\). Это значит, что \(9 = M\) и все места в поезде пустые. Ответ: 0.

При \(z = 1\), получаем уравнение \(17 \cdot 1 = 2M - 18\), что дает \(17 = 2M - 18\). Решая это уравнение, мы получаем \(M = 35.5\), что не является целым числом. Таким образом, здесь нет решений.

При \(z = 2\), получаем уравнение \(17 \cdot 2 = 2M - 18\), что дает \(34 = 2M - 18\). Решая это уравнение, мы получаем \(M = 26\). В этом случае, \(x = 1\) и \(y = 15\). Другими словами, в 2 вагонах все места заняты. Количество свободных мест в этих двух вагонах, где свободно половина мест, будет составлять 13 мест, а в вагонах, где свободно треть мест, будет 10 мест. Ответ: 2.

Таким образом, в двух вагонах все места заняты. Это и является ответом на поставленную задачу. Я надеюсь, что это решение ясно показывает, как мы пришли к этому ответу.