В сколько времени ученик выполнит всю работу, если каменщик может выполнить ее на 5 часов быстрее их совместной работы

Smeshannaya_Salat

42

Данная задача является задачей на совместную работу. Давайте подробно разберем ее решение.

Обозначим через \(x\) время, за которое ученик выполнит всю работу. Тогда каменщик выполнит всю работу за \(x - 5\) часов, так как он работает на 5 часов быстрее ученика.

Дано, что работа выполняется совместно, и они могут выполнить ее за 6 часов. Следовательно, за 1 час работы они выполняют \(\frac{1}{6}\) работу.

Теперь мы можем составить уравнение на основе того, что вместе они могут выполнить \(\frac{1}{6}\) работу за 1 час:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6}\]

Давайте проанализируем это уравнение.

У нас есть два слагаемых в левой части уравнения, каждое из которых представляет долю работы, которую каждый из них выполняет за 1 час. Общая сумма этих долей должна быть равна \(\frac{1}{6}\), так как они работают вместе в течение 1 часа.

Теперь давайте решим это уравнение:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6}\]

Для начала перенесем все слагаемые в левой части уравнения на общий знаменатель:

\[\frac{x-5+x}{x(x-5)} = \frac{1}{6}\]

Теперь упростим уравнение:

\[\frac{2x - 5}{x(x-5)} = \frac{1}{6}\]

Умножим обе части уравнения на \(6x(x-5)\) для устранения знаменателя:

\[6(2x - 5) = x(x-5)\]

Раскроем скобки:

\[12x - 30 = x^2 - 5x\]

Получим квадратное уравнение:

\[x^2 - 17x + 30 = 0\]

Теперь решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня (квадратного дискриминанта). Выберем факторизацию:

\[(x - 2)(x - 15) = 0\]

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения \(x\):

\(x_1 = 2\) и \(x_2 = 15\)

Оба значения удовлетворяют условию задачи, так как они означают, что ученик выполнит всю работу за 2 часа, а каменщик за 15 часов. Однако, у нас есть условие, что каменщик работает на 5 часов быстрее ученика. Поэтому исключим из рассмотрения второе решение и выберем \(x_1 = 2\) часа.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что ученик выполнит всю работу за 2 часа.