В треугольнике ABC проведена линия AL, которая делит угол между сторонами AB и AC пополам. На стороне AB выбрана точка

Hvostik_3891

10

Дана задача о треугольнике ABC, где проведена линия AL, делящая угол между сторонами AB и AC пополам. Точка K выбрана на стороне AB таким образом, что угол ACK равен углу ABC, и угол CLK равен углу BKC. Мы должны доказать, что длина отрезка AC равна длине отрезка KB.

Давайте рассмотрим треугольник ABC и внимательно изучим заданные углы.

Поскольку линия AL делит угол BAC пополам, то угол BAL равен углу LAC. Поскольку угол ACK равен углу ABC, то и угол BAK равен углу KAC. Значит, треугольники BAK и CAL подобны.

Также, по условию, угол CLK равен углу BKC, что означает, что треугольники BKC и CLK также подобны.

Теперь рассмотрим отношение длин сторон данных треугольников:

\[\frac{BA}{AC} = \frac{BK}{KL}\] (из подобия треугольников BAK и CAL)

\[\frac{BK}{KL} = \frac{KC}{BC}\] (из подобия треугольников BKC и CLK)

Мы можем объединить эти два равенства:

\[\frac{BA}{AC} = \frac{KC}{BC}\]

Теперь представим, что линия KL продолжена до пересечения с стороной AC в точке M. Тогда треугольники BAM и MAC будут подобны, поскольку угол BAM равен углу CAM (вытекает из факта, что линия AL делит угол BAC пополам).

Следовательно, можно записать соотношение для данных треугольников:

\[\frac{BA}{AC} = \frac{BM}{MC}\]

Теперь сравним два равенства:

\[\frac{BA}{AC} = \frac{KC}{BC}\]

\[\frac{BA}{AC} = \frac{BM}{MC}\]

Заметим, что левые части равны, поэтому правые части также должны быть равны:

\[\frac{KC}{BC} = \frac{BM}{MC}\]

Сокращаем обе дроби на общий делитель BC:

\[\frac{KС}{MC} = \frac{BM}{MC}\]

Отсюда следует, что KC = BM.

Теперь посмотрим на треугольники BKC и CMB. У них равны соответствующие углы, и мы также знаем, что KC = BM. Это означает, что данные треугольники равны друг другу по стороне-стороне (зависит от одной из сторон и двух прилежащих к ней углов).

Из равенства треугольников BKC и CMB следует, что угол BKC равен углу CMB.

Таким образом, мы доказали, что угол BKC равен как углу CLK, так и углу CMB.

Угол CLK равен углу BKC (по условию задачи), а угол BKC равен углу CMB (мы только что доказали это).

Следовательно, углы CLK и CMB равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольники CLK и BAC. У них равны соответствующие углы (CLK=CMB и BAC=BAM).

Таким образом, эти треугольники подобны друг другу по двум углам (что означает, что их третьи углы также равны).

Из подобия треугольников CLK и BAC следует, что отношение длин сторон CL и BA должно быть равно отношению длин сторон KC и AC:

\[\frac{CL}{BA} = \frac{KC}{AC}\]

Но поскольку угол CKL равен углу CBA (так как линия AL делит угол BAC пополам), то по теореме о соответствующих углах треугольников CKL и CBA имеем:

\[\frac{CL}{BA} = \frac{KC}{AC} = \frac{KL}{AC}\]

Так как KL равна длине отрезка BC (так как они параллельны), мы получаем:

\[\frac{KL}{AC} = \frac{BC}{AC}\]

Таким образом, \(\frac{BC}{AC} = \frac{KL}{AC}\).

Делая сокращение обеих дробей на общий делитель AC, получаем:
BC = KL.

Но мы знаем, что KL = AC (так как KL - это сегмент, а AC - это хорда, они равны по доказанному ранее).

Таким образом, BC = AC.

Из этого следует, что длина отрезка AC равна длине отрезка KB.

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка AC равна длине отрезка KB.