В треугольнике FKN с острым углом, высота FH равна 7, а сторона FK равна 25. Каков косинус угла?

Marina

16

Чтобы найти косинус угла в треугольнике FKN, мы можем использовать соотношение между косинусом и гипотенузой треугольника.

Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется следующим образом:
\(\cos (\theta) = \frac{{\text{прилежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\)

В треугольнике FKN у нас нет прямого угла, поэтому мы не можем использовать прямоугольный треугольник для нахождения косинуса угла напрямую. Однако, мы можем использовать связь между косинусом и углом, называемую косинусовым правилом.

Косинусовое правило позволяет нам найти косинус угла в остроугольном треугольнике с использованием длин сторон треугольника. Формула для косинусового правила выглядит следующим образом:
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\)

Где:
- \(c\) - длина стороны, противолежащей углу, для которого мы хотим найти косинус,
- \(a\) и \(b\) - длины других двух сторон,
- \(\theta\) - угол, для которого мы хотим найти косинус.

В данной задаче, нам даны значения высоты треугольника FH и стороны FK. Чтобы найти косинус угла, нам нужно решить уравнение косинусового правила для стороны KN, противолежащей углу FKN.

Используем формулу косинусового правила для нахождения длины стороны KN:
\(KN^2 = FH^2 + FK^2 - 2 \cdot FH \cdot FK \cdot \cos(\angle FKN)\)

Подставляя известные значения в это уравнение, получаем:
\(KN^2 = 7^2 + 25^2 - 2 \cdot 7 \cdot 25 \cdot \cos(\angle FKN)\)

Теперь, чтобы найти косинус угла, нам нужно разрешить это уравнение относительно \(\cos(\angle FKN)\). Для этого перенесем все известные значения на одну сторону и оставим неизвестное значение \(\cos(\angle FKN)\) на другой стороне:
\(2 \cdot 7 \cdot 25 \cdot \cos(\angle FKN) = 7^2 + 25^2 - KN^2\)

Теперь делим обе стороны уравнения на \(2 \cdot 7 \cdot 25\):
\(\cos(\angle FKN) = \frac{{7^2 + 25^2 - KN^2}}{{2 \cdot 7 \cdot 25}}\)

Остается вычислить значение \(\cos(\angle FKN)\), подставив известные значения сторон треугольника:
\(\cos(\angle FKN) = \frac{{7^2 + 25^2 - KN^2}}{{2 \cdot 7 \cdot 25}}\)

Продолжая вычисления, получаем:
\(\cos(\angle FKN) = \frac{{49 + 625 - KN^2}}{{350}}\)

Таким образом, косинус угла FKN равен \(\frac{{49 + 625 - KN^2}}{{350}}\), где \(KN\) - длина стороны противолежащей углу FKN.