В заводе есть партия из 150 подшипников, в которой случайно оказалось 20 бракованных экземпляров. Необходимо определить
В заводе есть партия из 150 подшипников, в которой случайно оказалось 20 бракованных экземпляров. Необходимо определить вероятность появления следующих событий, при условии, что из двух подшипников, взятых наугад, возможны следующие варианты: а) оба подшипника являются годными; б) оба подшипника являются бракованными; и г) как минимум один подшипник является годным.
Sumasshedshiy_Reyndzher 8
Для решения данной задачи воспользуемся понятием условной вероятности.а) Вероятность того, что оба подшипника являются годными, можно вычислить по формуле условной вероятности:
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Где:
\(P(A|B)\) - вероятность события A при условии B (оба подшипника являются годными);
\(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий A и B;
\(P(B)\) - вероятность наступления события B (выбор двух подшипников из партии).
Известно, что в партии из 150 подшипников 20 являются бракованными, следовательно, количество годных подшипников равно 150 - 20 = 130.
Таким образом, вероятность события B (выбор двух подшипников) равна:
\[P(B) = \frac{{C_{130}^2}}{{C_{150}^2}}\]
где \(C_n^k\) - число комбинаций из n элементов, выбранных по k.
Вероятность одновременного наступления событий A и B равна вероятности выбора двух годных подшипников из партии:
\[P(A \cap B) = \frac{{C_{130}^2}}{{C_{150}^2}}\]
Таким образом,
\[P(A|B) = \frac{{\frac{{C_{130}^2}}{{C_{150}^2}}}}{{\frac{{C_{130}^2}}{{C_{150}^2}}}} = 1\]
Вероятность того, что оба подшипника являются годными, при условии выбора двух подшипников, составляет 1 или 100%.
б) Вероятность того, что оба подшипника являются бракованными, можно также вычислить по формуле условной вероятности:
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Где:
\(P(A|B)\) - вероятность события A при условии B (оба подшипника являются бракованными);
\(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий A и B;
\(P(B)\) - вероятность наступления события B (выбор двух подшипников из партии).
Известно, что в партии из 150 подшипников 20 являются бракованными.
Таким образом, вероятность события B (выбор двух подшипников) равна:
\[P(B) = \frac{{C_{20}^2}}{{C_{150}^2}}\]
где \(C_n^k\) - число комбинаций из n элементов, выбранных по k.
Вероятность одновременного наступления событий A и B равна вероятности выбора двух бракованных подшипников из партии:
\[P(A \cap B) = \frac{{C_{20}^2}}{{C_{150}^2}}\]
Таким образом,
\[P(A|B) = \frac{{\frac{{C_{20}^2}}{{C_{150}^2}}}}{{\frac{{C_{20}^2}}{{C_{150}^2}}}} = 1\]
Вероятность того, что оба подшипника являются бракованными, при условии выбора двух подшипников, также составляет 1 или 100%.
г) Чтобы определить вероятность того, что как минимум один подшипник является годным, можно воспользоваться дополнением события к тому, что оба подшипника являются бракованными.
То есть, вероятность того, что как минимум один подшипник является годным, равна 1 минус вероятность того, что оба подшипника являются бракованными:
\[P(A) = 1 - P(\text{оба брак})\]
\[P(A) = 1 - 1 = 0\]
Таким образом, вероятность того, что как минимум один подшипник является годным, составляет 0 или 0%.