Вариант 1 1. В треугольнике ABC, если угол A равен 45°, угол B равен 60°, а сторона BC равна 3√2, то какова длина

Сокол

22

1. Давайте решим первую задачу. У нас есть треугольник ABC, где угол A равен 45°, угол B равен 60°, а сторона BC равна 3√2. Мы хотим найти длину стороны AC.

Для начала, построим треугольник и обозначим известные значения:

Угол A = 45°
Угол B = 60°
Сторона BC = 3√2

Теперь воспользуемся свойствами треугольника:

1) Сумма углов треугольника равна 180°:
Угол C = 180° - Угол A - Угол B = 180° - 45° - 60° = 75°

2) В треугольнике, для расчета сторон и углов, мы можем использовать тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс.
Для нахождения стороны AC, мы можем использовать следующее соотношение, которое называется теоремой синусов:

\[\frac{AC}{sin(A)} = \frac{BC}{sin(C)}\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[\frac{AC}{sin(45°)} = \frac{3√2}{sin(75°)}\]

Теперь, найдем значения синусов углов:

sin(45°) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
sin(75°) = \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Подставим значения в формулу:

\[\frac{AC}{\frac{1}{\sqrt{2}}}= \frac{3√2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\]

Упростим правую часть:

\[\frac{AC}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4 * 3√2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\]

Для удобства, умножим числитель и знаменатель правой части на \(\sqrt{2}\):

\[\frac{AC * \sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4 * 3√2 * \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\]

Теперь сократим:

\[AC * \sqrt{2} = \frac{6}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\]

Рационализуем знаменатель в правой части:

\[AC * \sqrt{2} = \frac{6 * (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) * (\sqrt{6} - \sqrt{2})}\]

Мы помним, что \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\). Применим это свойство:

\[AC * \sqrt{2} = \frac{6 * (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}\]

\[AC * \sqrt{2} = \frac{6 * (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2}\]

\[AC * \sqrt{2} = \frac{6 * (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}\]

\[AC * \sqrt{2} = \frac{3}{2} * (\sqrt{6} - \sqrt{2})\]

Теперь разделим обе части на \(\sqrt{2}\):

\[AC = \frac{3}{2} * (\sqrt{3} - 1)\]

Таким образом, длина стороны AC равна \(\frac{3}{2} * (\sqrt{3} - 1)\).

2. Перейдем ко второй задаче. У нас есть треугольник, в котором две стороны равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Нам нужно найти длину третьей стороны треугольника.

Обозначим известные значения:

Сторона AB = 7 см
Сторона AC = 8 см
Угол BAC = 120°

Теперь воспользуемся законом косинусов для нахождения третьей стороны:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(BAC)\]

Подставим значения в формулу:

\[AC^2 = 7^2 + 8^2 - 2 * 7 * 8 * cos(120°)\]

Упростим:

\[AC^2 = 49 + 64 - 112 * cos(120°)\]

Известно, что cos(120°) = -0.5. Подставим значение:

\[AC^2 = 113 - 112 * (-0.5)\]

\[AC^2 = 113 + 56\]

\[AC^2 = 169\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[AC = \sqrt{169}\]

\[AC = 13\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 13 см.

3. Перейдем к третьей задаче. У нас есть треугольник ABC с известными координатами точек A(3; 9), B(0; 6) и C(4; 2). Нам нужно определить тип треугольника ABC.

Для этого воспользуемся методами определения типов треугольников, которые основаны на его сторонах и углах.

Первым делом, найдем длины сторон треугольника ABC. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Таким образом, найдем длины сторон AB, BC и AC:

AB = \(\sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2}\)
BC = \(\sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2}\)
AC = \(\sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2}\)

Выполним вычисления:

AB = \(\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2}\)
AB = \(\sqrt{18}\)

BC = \(\sqrt{4^2 + (-4)^2}\)
BC = \(\sqrt{32}\)

AC = \(\sqrt{1^2 + (-7)^2}\)
AC = \(\sqrt{50}\)

Теперь, рассмотрим соотношение между сторонами треугольника, чтобы определить его тип:

Если все три стороны равны, то это равносторонний треугольник.
Если две стороны равны, то это равнобедренный треугольник.
Если все три стороны различны, то это разносторонний треугольник.

Вычислим значения длин сторон и определим тип треугольника ABC:

AB = \(\sqrt{18}\)
BC = \(\sqrt{32}\)
AC = \(\sqrt{50}\)

Таким образом, стороны треугольника ABC не равны друг другу, поэтому это разносторонний треугольник.

4. Перейдем к четвертой задаче. У нас есть треугольник ABC, где сторона AB равна BC, угол CAB равен 30°, AE является биссектрисой, а длина BE составляет 8 см. Мы хотим найти площадь треугольника ABC.

Для решения этой задачи, нам понадобятся свойства биссектрисы и формула для нахождения площади треугольника.

Зная, что AE - биссектриса треугольника ABC, мы можем использовать следующее свойство:

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CE}\)

Так как сторона AB равна BC, у нас будет:

\(\frac{AB}{AC} = \frac{8 + CE}{CE}\)

Решим это уравнение относительно CE:

\(\frac{AB}{AC} = \frac{8 + CE}{CE}\)

Умножим обе части на CE:

\(AB * CE = AC * (8 + CE)\)

Раскроем скобки:

\(AB * CE = 8AC + AC * CE\)

Выразим CE:

\(CE - AC * CE = 8AC\)

\(CE(1 - AC) = 8AC\)

\(CE = \frac{8AC}{1 - AC}\)

Теперь, используем формулу для нахождения площади треугольника:

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} * AB * AC * sin(CAB)\)

Подставим значения:

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} * AB * AC * sin(30°)\)

AB = BC, поэтому AB = AC. Отсюда:

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} * AB^2 * sin(30°)\)

Заменим AB на величину 2CE:

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} * (2CE)^2 * sin(30°)\)

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} * 4CE^2 * sin(30°)\)

Площадь треугольника ABC = \(2CE^2 * sin(30°)\)

Заменим CE на \( \frac{8AC}{1 - AC} \):

Площадь треугольника ABC = \(2 * \left(\frac{8AC}{1 - AC}\right)^2 * sin(30°)\)

Упростим:

Площадь треугольника ABC = \(2 * \frac{64AC^2}{(1 - AC)^2} * \frac{1}{2}\)

Площадь треугольника ABC = \(\frac{64AC^2}{(1 - AC)^2}\)

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\frac{64AC^2}{(1 - AC)^2}\).