Выразите через тригонометрические функции угла альфа: tg(пи/4 - альфа

Весенний_Лес

59

Конечно, я помогу вам с этой задачей. Мы хотим выразить угол \(\alpha\) через тригонометрические функции, используя выражение \(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\). Давайте сначала разберемся с аргументом тангенса.

Мы знаем следующие формулы:
\[\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}\]

Можем применить тригонометрические формулы для разности углов:
\[\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\]
\[\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\]

Теперь, подставим эти значения в наше исходное выражение:
\[\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha}\]

Мы можем сократить \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и получим:
\[\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\]

Таким образом, мы выразили угол \(\alpha\) через тригонометрические функции:
\[\tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\]

Надеюсь, это решение будет понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.