What are the characteristics of the function f(x) = x^2 - 4x - 12? How can we find the vertex and x-intercepts

Skvoz_Pesok

64

Хорошо! Давайте рассмотрим данную функцию \(f(x) = x^2 - 4x - 12\). Чтобы выяснить все характеристики этой функции и найти вершину и x-пересечения параболы, представленной этой функцией, давайте начнем с характеристик функции.

1. Форма функции: Мы видим, что данная функция является квадратичной функцией, так как переменная \(x\) имеет вторую степень (\(x^2\)). Квадратичные функции обладают параболической формой.

2. Ведущий коэффициент: Коэффициент при \(x^2\) равен 1 (неявно), что означает, что парабола открывается вверх, так как \(1 > 0\). Это важно для определения направления "выгиба" параболы.

3. Коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\): В данной функции \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = -12\). Они соответствуют коэффициентам при \(x^2\), \(x\) и свободному члену. Знание этих коэффициентов позволяет нам проанализировать параболу и найти ее характеристики.

Теперь перейдем к нахождению вершины и x-пересечений параболы.

1. Вершина параболы: Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу \(-\frac{b}{2a}\). Для данной функции, где \(a = 1\) и \(b = -4\), мы можем использовать следующую формулу:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1}\]
\[x_{\text{вершины}} = 2\]

Подставим этот \(x\) обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \(y\):

\(y_{\text{вершины}} = (2)^2 - 4 \cdot (2) - 12\)
\(y_{\text{вершины}} = 4 - 8 - 12\)
\(y_{\text{вершины}} = -16\)

Таким образом, вершина нашей параболы находится в точке (2, -16).

2. X-пересечения параболы: Чтобы найти x-пересечения параболы, мы должны приравнять функцию \(f(x)\) к 0 и решить квадратное уравнение.

\(x^2 - 4x - 12 = 0\)

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, завершение квадрата или квадратное уравнение. Давайте используем формулу квадратного корня:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm 8}{2}\]

Разделим это на два случая:

a) Когда \(x = \frac{4 + 8}{2}\):

\[x = \frac{12}{2}\]
\[x = 6\]

b) Когда \(x = \frac{4 - 8}{2}\):

\[x = \frac{-4}{2}\]
\[x = -2\]

Таким образом, x-пересечения параболы находятся в точках (6, 0) и (-2, 0).

Итак, для функции \(f(x) = x^2 - 4x - 12\) характеристики таковы: парабола открывается вверх, вершина находится в точке (2, -16), x-пересечения в точках (6, 0) и (-2, 0).