What is the expression for tg^2a/1-ctg^2a when sina = 2/3?

Якорь

41

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Задача требует выразить выражение \(\frac{\tan^2{a}}{1 - \cot^2{a}}\) при условии, что \(\sin{a} = \frac{2}{3}\). Давайте начнем с поиска значения \(\cot{a}\).

Известно, что \(\cot{a} = \frac{1}{\tan{a}}\). У нас уже есть информация о значении \(\sin{a}\), поэтому мы можем использовать тригонометрическую тождества для вычисления \(\cos{a}\) и \(\tan{a}\).

Для начала, воспользуемся фактом, что \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). Подставляя значение \(\sin{a}\), получаем:

\[\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2{a} = 1\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[\frac{4}{9} + \cos^2{a} = 1\]

Вычитая \(\frac{4}{9}\) из обеих сторон уравнения, получаем:

\[\cos^2{a} = 1 - \frac{4}{9}\]

Далее мы можем найти значение \(\cos{a}\), извлекая квадратный корень из обеих сторон:

\[\cos{a} = \pm\sqrt{\frac{5}{9}}\]

Теперь, зная значение \(\sin{a}\) и \(\cos{a}\), мы можем найти значение \(\tan{a}\):

\[\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}} = \frac{\frac{2}{3}}{\pm\sqrt{\frac{5}{9}}}\]

Теперь мы можем взять этот результат, чтобы найти \(\cot{a}\):

\[\cot{a} = \frac{1}{\tan{a}} = \frac{1}{\frac{\frac{2}{3}}{\pm\sqrt{\frac{5}{9}}}} = \pm\sqrt{\frac{5}{18}} \cdot \frac{3}{2}\]

Итак, мы нашли значение \(\cot{a}\). Теперь вернемся к исходному выражению \(\frac{\tan^2{a}}{1 - \cot^2{a}}\).

Подставляем найденное значение \(\cot{a}\):

\[\frac{\tan^2{a}}{1 - \cot^2{a}} = \frac{\tan^2{a}}{1 - \left(\pm\sqrt{\frac{5}{18}} \cdot \frac{3}{2}\right)^2}\]

Теперь, с учетом условия \(\sin{a} = \frac{2}{3}\), мы можем выразить \(\tan{a}\):

\[\frac{\left(\frac{\sin{a}}{\cos{a}}\right)^2}{1 - \left(\pm\sqrt{\frac{5}{18}} \cdot \frac{3}{2}\right)^2}\]

Подставляя значения \(\sin{a}\) и \(\cos{a}\), мы получаем:

\[\frac{\left(\frac{\frac{2}{3}}{\pm\sqrt{\frac{5}{9}}}\right)^2}{1 - \left(\pm\sqrt{\frac{5}{18}} \cdot \frac{3}{2}\right)^2}\]

Теперь остается только вычислить это выражение, подставив конкретное значение \(\sin{a}\) и найденные значения \(\cos{a}\) и \(\cot{a}\). Рассчитаем числитель и знаменатель по отдельности:

Числитель:
\[\left(\frac{\frac{2}{3}}{\pm\sqrt{\frac{5}{9}}}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \div \left(\pm\sqrt{\frac{5}{9}}\right)^2 = \frac{4}{9} \div \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{4}{5}\]

Знаменатель:
\[1 - \left(\pm\sqrt{\frac{5}{18}} \cdot \frac{3}{2}\right)^2 = 1 - \left(\pm\sqrt{\frac{45}{36}} \cdot \frac{3}{2}\right)^2 = 1 - \left(\pm\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2 = 1 - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}\]

Теперь мы можем просто подставить найденные значения в исходное выражение:

\[\frac{\tan^2{a}}{1 - \cot^2{a}} = \frac{\left(\frac{\sin{a}}{\cos{a}}\right)^2}{1 - \left(\pm\sqrt{\frac{5}{18}} \cdot \frac{3}{2}\right)^2} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{1}{4}} = -\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{4}{1}\right) = \frac{16}{5}\]

Итак, окончательный ответ: \(\frac{\tan^2{a}}{1 - \cot^2{a}} = \frac{16}{5}\), при условии \(\sin{a} = \frac{2}{3}\).