What is the rewritten form of the expression sin (x+pi)-cos(-3pi/2-x)+sin(810-x)?

Черная_Роза

44

Чтобы переписать данное выражение, необходимо использовать тригонометрические тождества и формулы. Давайте разберемся пошагово.

1. Мы начнем с первого слагаемого в выражении: sin(x+pi).
Используем формулу синуса суммы: sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b).
В нашем случае, a = x, b = pi, поэтому мы получим:
sin(x + pi) = sin(x) * cos(pi) + cos(x) * sin(pi).

2. Второе слагаемое: -cos(-3pi/2-x).
Для удобства упростим первоначальное выражение.
Используем формулу косинуса суммы: cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b).
Заметим, что -3pi/2 - x = -(3pi/2 + x), а cos(-a) = cos(a) и sin(-a) = -sin(a).
Тогда -cos(-3pi/2 - x) = -cos(3pi/2 + x) = -cos(3pi/2) * cos(x) + sin(3pi/2) * sin(x).
Значение sin(3pi/2) = -1, а cos(3pi/2) = 0. Таким образом, мы получим:
-cos(-3pi/2 - x) = 0 * cos(x) + (-1) * sin(x) = -sin(x).

3. Третье слагаемое: sin(810 - x).
Аналогично, мы можем использовать формулу синуса суммы: sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b).
Здесь a = 810, b = -x, поэтому имеем:
sin(810 - x) = sin(810) * cos(-x) + cos(810) * sin(-x).

Теперь мы можем собрать все вместе:
sin(x + pi) - cos(-3pi/2 - x) + sin(810 - x) = (sin(x) * cos(pi) + cos(x) * sin(pi)) - (-sin(x)) + (sin(810) * cos(-x) + cos(810) * sin(-x)).

Дальше мы можем использовать известные значения функций синус и косинус для углов pi, 810 и 3pi/2:
sin(pi) = 0, cos(pi) = -1,
sin(810) = -sin(810 - 2pi) = -sin(-2pi) = -sin(0) = 0,
cos(810) = cos(810 - 2pi) = cos(-2pi) = cos(0) = 1,
sin(3pi/2) = -1, cos(3pi/2) = 0.

Подставим эти значения и получим:
sin(x + pi) - cos(-3pi/2 - x) + sin(810 - x) = (sin(x) * (-1) + cos(x) * 0) - (-sin(x)) + (0 * cos(-x) + 1 * sin(-x)).

Сокращаем:
sin(x + pi) - cos(-3pi/2 - x) + sin(810 - x) = -sin(x) + sin(x) + sin(-x).

Теперь используем известное тождество: sin(-x) = -sin(x):
sin(x + pi) - cos(-3pi/2 - x) + sin(810 - x) = -sin(x) + sin(x) + (-sin(x)).

Складываем:
sin(x + pi) - cos(-3pi/2 - x) + sin(810 - x) = -sin(x) + sin(x) - sin(x).

Снова сокращаем:
sin(x + pi) - cos(-3pi/2 - x) + sin(810 - x) = 0.

Таким образом, переписанная форма выражения равна 0.