What is the value of (log2 5 + 16log5 2 +8)(log2 5 - 4log80 5)log5 2 - log2 5 2.log the 6th root of (a) with a base

Sumasshedshiy_Rycar_7484

11

Давайте разложим задачу на несколько шагов для лучшего понимания.

Шаг 1:
Для начала применим логарифмические свойства для упрощения выражения:
\[\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\]
\[\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\]
Также отметим, что \(\log_a a = 1\) и \(\log_a 1 = 0\).

Применим это к задаче:
\((\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8)(\log_2 5 - 4\log_{80} 5)\log_5 2 - \log_2 (5^2)\log_{\sqrt[3]{3}} (\sqrt[6]{a}) = (\log_2 5 + \log_5 2^{16} + 8)(\log_2 5 - \log_{80} 5^4)\log_5 2 - \log_2 25 \cdot \log_{\sqrt[3]{3}} a^{\frac{1}{6}}\)

Шаг 2:
Теперь займемся упрощением каждого из логарифмов и числовых значений.

Начнем с раскрытия степеней:
\(\log_2 2^{16} = 16\)
\(\log_{80} 5^4 = \frac{1}{4}\)

Теперь применим свойства логарифмов:
\(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)
\(\log_2 5 + \log_5 2 = \log_2 (5 \cdot 2) = \log_2 10\)
\(\log_2 10 - \frac{1}{4} = \frac{4\log_2 10 - 1}{4}\)

Теперь рассмотрим \(\log_5 2\):
Мы можем заменить \(\log_5 2\) на \(\frac{1}{\log_2 5}\), используя свойства логарифмов:
\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)
Таким образом, \(\log_5 2 = \frac{1}{\log_2 5}\)

Применим это:
\(\frac{4\log_2 10 - 1}{4} \cdot \frac{1}{\log_2 5}\)

Шаг 3:
Теперь обратимся к выражению \(\log_2 25\):
Мы знаем, что \(25 = 5^2\), поэтому можно заменить \(\log_2 25\) на \(\log_2 (5^2) = 2\log_2 5\).

Применим это и займемся упрощением предыдущего выражения:
\(\frac{4\log_2 10 - 1}{4} \cdot \frac{1}{\log_2 5} - 2\log_2 5 \cdot \log_{\sqrt[3]{3}} a^{\frac{1}{6}}\)

Шаг 4:
Теперь займемся упрощением последнего логарифма.

Используем свойство логарифма \(\log_a b^n = n\log_a b\) для раскрытия степени:
\(\log_{\sqrt[3]{3}} a^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6}\log_{\sqrt[3]{3}} a\)

Применим это и окончательно упростим всё выражение:
\[\frac{4\log_2 10 - 1}{4\log_2 5} - 2\log_2 5 \cdot \frac{1}{6}\log_{\sqrt[3]{3}} a\]

Это окончательный ответ, учитывая все упрощения и замены.