What is the value of the function y = -3*sin(x - π/6) + 6 when x = 4π/3?

Igorevich_1940

62

Окей, давайте разберемся в этой задаче.

Итак, дана функция \(y = -3 \cdot \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 6\) и нужно узнать ее значение при \(x = \frac{4\pi}{3}\).

Для начала, давайте разберемся с аргументом функции \((x - \frac{\pi}{6})\). У нас дано, что \(x = \frac{4\pi}{3}\), поэтому подставим это значение вместо \(x\):

\(x - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\).

Теперь найдем общий знаменатель для вычитаемых дробей:

\(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\).

Теперь можем перейти к вычислению функции:

\(y = -3 \cdot \sin(\frac{7\pi}{6}) + 6\).

Теперь осталось вычислить значение синуса \(\sin(\frac{7\pi}{6})\). Но перед этим важно знать, что значение синуса угла \(\frac{7\pi}{6}\) можно получить, зная значение синуса угла \(\frac{\pi}{6}\), поскольку углы \(\frac{7\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{6}\) являются сопряженными углами, то есть их синусы равны по модулю, но имеют противоположные знаки.

Найдем значение синуса угла \(\frac{\pi}{6}\):

\(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\).

Теперь, используя свойство сопряженных углов, мы знаем, что:

\(\sin(\frac{7\pi}{6}) = - \sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\).

Теперь можем окончательно найти значение функции:

\(y = -3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 = \frac{3}{2} + 6 = \frac{15}{2}\).

Таким образом, значение функции \(y\) при \(x = \frac{4\pi}{3}\) равно \(\frac{15}{2}\).