Яка буде сума перших шести членів геометричної прогресії (bn), якщо b5 = 16 та b8 = 1024?

Vecherniy_Tuman

3

Для решения этой задачи, нам нужно найти общую формулу для \(b_n\) в геометрической прогрессии и использовать ее, чтобы найти сумму первых шести членов.

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии \(q\).

Исходя из этого, мы можем записать:
\[b_5 = b_1 \cdot q^4 = 16\]
\[b_8 = b_1 \cdot q^7 = 1024\]

Мы можем использовать эти два уравнения для нахождения значения \(b_1\) и \(q\).

Для начала уравняем экспоненты \(q\) обоих уравнений:
\[\frac{b_8}{b_5} = \frac{b_1 \cdot q^7}{b_1 \cdot q^4}\]
\[\frac{1024}{16} = q^3\]
\[64 = q^3\]

Теперь найдем \(q\) путем извлечения кубического корня:
\[q = \sqrt[3]{64} = 4\]

Теперь, когда у нас есть значение \(q\), мы можем использовать одно из наших исходных уравнений, чтобы найти \(b_1\):
\[b_5 = b_1 \cdot q^4 = 16\]
\[16 = b_1 \cdot 4^4 = b_1 \cdot 256\]
\[b_1 = \frac{16}{256} = \frac{1}{16}\]

Теперь у нас есть значения \(b_1\) и \(q\), и мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы \(S_n\) первых \(n\) членов геометрической прогрессии имеет вид:
\[S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\]

Подставим значения в нашу формулу:
\[S_6 = \frac{\frac{1}{16} \cdot (4^6 - 1)}{4 - 1}\]
\[S_6 = \frac{\frac{1}{16} \cdot (4096 - 1)}{3}\]
\[S_6 = \frac{\frac{1}{16} \cdot 4095}{3}\]
\[S_6 = \frac{4095}{48}\]
\[S_6 = 85,31\]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 85,31.