Яка довжина бічної сторони рівнобедреного тупокутного трикутника з висотою 8 см та радіусом описаного кола

Радуга_На_Земле

19

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать тригонометрические соотношения в треугольнике. Для начала, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного трикутника.

Поскольку данный треугольник является равнобедренным, у него две равные боковые стороны. Пусть длина каждой боковой стороны равна \(x\) см. Таким образом, у нас есть равенство:

\[x = x.\]

Теперь рассмотрим высоту треугольника. Мы знаем, что высота равна 8 см. Высота является перпендикуляром, опущенным из вершины треугольника на основание. Так как треугольник равнобедренный, то это основание делит наш треугольник на два прямоугольных треугольника.

Мы можем использовать треугольник со сторонами высоты, половиной основания и стороной равной боковой стороне треугольника, чтобы рассчитать отношения между сторонами треугольника.

Воспользуемся тригонометрическим соотношением для синуса угла \(\theta\):

\[\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}.\]

В нашем случае, противоположная сторона это высота, а гипотенуза - половина основания (то есть \(\frac{{x}}{{2}}\) см). Таким образом, мы можем записать:

\[\sin(\theta) = \frac{{8}}{{\frac{{x}}{{2}}}}.\]

Теперь, чтобы найти значение синуса треугольника, мы можем использовать свойство описанного окружности. Для любого треугольника равнобедренного тупокутного треугольника верно соотношение:

\[\sin(\theta) = \frac{{c}}{{2R}},\]

где \(c\) - это боковая сторона, а \(R\) - радиус описанной окружности.

Так как в нашем случае синусы треугольника равны, мы можем записать:

\[\frac{{8}}{{\frac{{x}}{{2}}}} = \frac{{c}}{{2R}}.\]

Теперь нам нужно найти выражение для радиуса описанного окружности. Мы знаем, что радиус описанной окружности - это расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника. В прямоугольном треугольнике, образованном диаметром описанной окружности, гипотенуза равна диаметру, а половина гипотенузы - это радиус. То есть:

\[R = \frac{{c}}{{2}}.\]

Теперь мы можем переписать наше уравнение:

\[\frac{{8}}{{\frac{{x}}{{2}}}} = \frac{{c}}{{2 \cdot \frac{{c}}{{2}}} = \frac{{c}}{{c}} = 1.\]

Таким образом, мы получаем:

\[\frac{{8}}{{\frac{{x}}{{2}}}} = 1.\]

Чтобы решить это уравнение относительно \(x\), мы умножим обе стороны на \(\frac{{2}}{{8}}\):

\[\frac{{2}}{{8}} \cdot \frac{{8}}{{\frac{{x}}{{2}}}} = \frac{{2}}{{8}} \cdot 1.\]

После упрощения, получим:

\[x = 2.\]

Таким образом, длина каждой боковой стороны равнобедренного тупокутного треугольника равна 2 см.