Яка є індуктивність котушки коливального контуру, якщо ємність конденсатора становить 20 мкФ, максимальна сила струму
Яка є індуктивність котушки коливального контуру, якщо ємність конденсатора становить 20 мкФ, максимальна сила струму в котушці - 2 А, а максимальний заряд на обкладках конденсатора - 1,6 мкКл? Припускається, що коливання в контурі не згасають.
Zagadochnaya_Sova 68
Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для периода колебаний в колебательном контуре:\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]
где \(T\) - период колебаний, а \(\omega\) - циклическая частота. Циклическая частота \(\omega\) связана с индуктивностью \(L\) и емкостью \(C\) колебательного контура следующим образом:
\[\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]
В нашей задаче известны емкость \(C\) (20 мкФ) и заряд \(Q\) на обкладках конденсатора (1,6 мкКл). Мы также знаем, что заряд \(Q\) на обкладках конденсатора связан с напряжением \(U\) на конденсаторе и емкостью \(C\) следующим образом:
\[Q = CU\]
Из этого уравнения мы можем выразить напряжение \(U\):
\[U = \frac{Q}{C}\]
Максимальное значение силы тока \(I\) в катушке связано с напряжением \(U\) и индуктивностью \(L\) следующим образом:
\[I = \frac{U}{\omega L}\]
Мы знаем, что максимальная сила тока \(I\) составляет 2 А.
Теперь мы можем собрать все уравнения вместе и решить задачу. Давайте найдем значение индуктивности \(L\) колебательного контура.
Сначала найдем напряжение \(U\) на конденсаторе:
\[U = \frac{Q}{C} = \frac{1,6 \times 10^{-6} \, Кл}{20 \times 10^{-6} \, Ф} = 0,08 \, В\]
Теперь найдем циклическую частоту \(\omega\):
\[\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{L \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{20L \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{20L} \times 10^{-3}}\]
Теперь мы можем записать уравнение для максимальной силы тока \(I\) в катушке:
\[I = \frac{U}{\omega L} = \frac{0,08 \, В}{\frac{1}{\sqrt{20L} \times 10^{-3}} \times L} = 0,08 \, В \times \frac{\sqrt{20L} \times 10^{-3}}{L}\]
Решим это уравнение относительно \(L\):
\[2 \, А = 0,08 \, В \times \frac{\sqrt{20L} \times 10^{-3}}{L}\]
Упростим это уравнение:
\[2 = 0,08 \times \sqrt{\frac{20L}{L^2}} \times 10^{-3} = 0,08 \times \sqrt{\frac{20}{L}} \times 10^{-3}\]
Разделим обе части уравнения на 0,08 и умножим на \(10^3\):
\[2 \times \frac{10^3}{0,08} = \sqrt{\frac{20}{L}}\]
\[25000 = \sqrt{\frac{20}{L}}\]
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[(25000)^2 = \frac{20}{L}\]
Решим это уравнение относительно \(L\):
\[L = \frac{20}{(25000)^2} = \frac{20}{625000000} = 3,2 \times 10^{-8} \, Гн\]
Итак, индуктивность \(L\) катушки колебательного контура равна \(3,2 \times 10^{-8}\) Гн.