Яка площа круга, що вписаний у трикутник із сторонами 30см, 26см?

Blestyaschaya_Koroleva

39

Чтобы найти площадь круга, вписанного в данный треугольник, нам понадобится знать радиус этого круга.

Для начала, найдем площадь треугольника по формуле Герона. Пусть стороны треугольника равны a = 30 см, b = 26 см и c - радиус круга (так как радиус является одной из сторон треугольника вписанного в него круга).

Сначала рассчитаем полупериметр треугольника: \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

\[p = \frac{{30 + 26 + c}}{2}\]

Теперь рассчитаем площадь треугольника по формуле Герона:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{{p(p - a)(p - b)(p - c)}}\]

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{{\frac{{30 + 26 + c}}{2} \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-30\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-26\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-c\right)}}\]

Теперь у нас есть площадь треугольника. Чтобы найти радиус круга, вписанного в этот треугольник, воспользуемся формулой, которая связывает радиус круга и площадь треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{abc}}{4R}\]

где a, b и c - стороны треугольника, а R - радиус вписанного круга.

Подставляем известные значения в формулу:

\[\sqrt{{\frac{{30 + 26 + c}}{2} \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-30\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-26\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-c\right)}} = \frac{{30 \cdot 26 \cdot c}}{4R}\]

Теперь решим это уравнение относительно R:

\[\sqrt{{\frac{{30 + 26 + c}}{2} \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-30\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-26\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-c\right)}} = \frac{{30 \cdot 26 \cdot c}}{4R}\]

\[R = \frac{{30 \cdot 26 \cdot c}}{{4 \cdot \sqrt{{\frac{{30 + 26 + c}}{2} \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-30\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-26\right) \cdot \left(\frac{{30 + 26 + c}}{2}-c\right)}}}}\]

Если мы найдем значение радиуса R, мы сможем легко найти площадь круга по формуле:

\[S_{\text{круга}} = \pi R^2\]

Таким образом, получим окончательный ответ с заданными значениями сторон треугольника и значениями радиуса R.