Яка є площа повної поверхні циліндра, якщо паралельно його осі проведено переріз, який відділяє від кола основи дугу

Янгол_6463

31

Для решения этой задачи, нам необходимо разбить поверхность цилиндра на две части - боковую поверхность и два основания.

Первым шагом найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Для этого нужно умножить длину окружности \(C\) основания на высоту \(h\) цилиндра. В данном случае, длина окружности основания равна дуге, которая отделяет от нее сектор в 120 градусов. Для нахождения этой дуги, воспользуемся соотношением между дугой, центральным углом и длиной окружности: \(L = \frac{\theta}{360} \cdot 2 \pi r\), где \(L\) - длина дуги, \(\theta\) - центральный угол, а \(r\) - радиус окружности.

Итак, получаем, что длина окружности основания:
\[L = \frac{120}{360} \cdot 2 \pi r = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi r\]

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[S_{\text{бок}} = L \cdot h\]

Заметим, что диагональ перереза образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Тогда, ее длина может быть найдена по формуле косинусов:
\[d = \sqrt{L^2 + S_{\text{бок}}^2 - 2 \cdot L \cdot S_{\text{бок}} \cdot \cos(60^{\circ})}\]

Также, площадь перереза равна 16 корень из 3 квадратных сантиметров:
\[S_{\text{перерез}} = 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Нам известно, что площадь основания цилиндра равна площади перереза плюс площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{осн}} = S_{\text{перерез}} + S_{\text{бок}}\]

Таким образом, мы получили систему уравнений, которую можно решить для нахождения площади основания \(S_{\text{осн}}\) и площади боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).

Пошагово решим задачу:

Шаг 1: Найдем длину окружности основания цилиндра:
\[L = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi r = \frac{2}{3} \pi r\]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра:
\[S_{\text{бок}} = L \cdot h = \frac{2}{3} \pi r \cdot h\]

Шаг 3: Найдем диагональ перереза:
\[d = \sqrt{L^2 + S_{\text{бок}}^2 - 2 \cdot L \cdot S_{\text{бок}} \cdot \cos(60^{\circ})}\]

Шаг 4: Найдем площадь основания цилиндра:
\[S_{\text{осн}} = S_{\text{перерез}} + S_{\text{бок}}\]

Итак, мы написали все необходимые формулы, которые позволят нам решить задачу. Теперь давайте подставим известные значения и произведем вычисления.