Яка є площа повної поверхні циліндра, якщо паралельно його осі проведено переріз, який відділяє від кола основи дугу

Янгол_6463

31

Для решения этой задачи, нам необходимо разбить поверхность цилиндра на две части - боковую поверхность и два основания.

Первым шагом найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Для этого нужно умножить длину окружности $C$ основания на высоту $h$ цилиндра. В данном случае, длина окружности основания равна дуге, которая отделяет от нее сектор в 120 градусов. Для нахождения этой дуги, воспользуемся соотношением между дугой, центральным углом и длиной окружности: $L=\frac{\theta }{360}\cdot 2\pi r$, где $L$ - длина дуги, $\theta$ - центральный угол, а $r$ - радиус окружности.

Итак, получаем, что длина окружности основания:
$$L=\frac{120}{360}\cdot 2\pi r=\frac{1}{3}\cdot 2\pi r$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:
$$S_{\text{бок}}=L\cdot h$$

Заметим, что диагональ перереза образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Тогда, ее длина может быть найдена по формуле косинусов:
$$d=\sqrt{L^2+S_{\text{бок}}^2-2\cdot L\cdot S_{\text{бок}}\cdot \cos ({60}^{\circ })}$$

Также, площадь перереза равна 16 корень из 3 квадратных сантиметров:
$$S_{\text{перерез}}=16\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

Нам известно, что площадь основания цилиндра равна площади перереза плюс площадь боковой поверхности:
$$S_{\text{осн}}=S_{\text{перерез}}+S_{\text{бок}}$$

Таким образом, мы получили систему уравнений, которую можно решить для нахождения площади основания $S_{\text{осн}}$ и площади боковой поверхности $S_{\text{бок}}$.

Пошагово решим задачу:

Шаг 1: Найдем длину окружности основания цилиндра:
$$L=\frac{1}{3}\cdot 2\pi r=\frac{2}{3}\pi r$$

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра:
$$S_{\text{бок}}=L\cdot h=\frac{2}{3}\pi r\cdot h$$

Шаг 3: Найдем диагональ перереза:
$$d=\sqrt{L^2+S_{\text{бок}}^2-2\cdot L\cdot S_{\text{бок}}\cdot \cos ({60}^{\circ })}$$

Шаг 4: Найдем площадь основания цилиндра:
$$S_{\text{осн}}=S_{\text{перерез}}+S_{\text{бок}}$$

Итак, мы написали все необходимые формулы, которые позволят нам решить задачу. Теперь давайте подставим известные значения и произведем вычисления.