Яка рівність в доведенні стверджує, що AD=DE у рівнобедреному трикутнику ABC з кутом при вершині C, рівним

Leonid

49

Для доведення твердження, що $AD=DE$ у рівнобедреному трикутнику $ABC$ з кутом при вершині $C$ рівним 120 градусів, коли проведено бісектрису $AE$ і висоту $CD$, ми можемо скористатися декількома властивостями рівнобедреного трикутника та його бісектриси.

Перш ніж продовжувати, давайте з"ясуємо, що таке рівнобедрений трикутник. Рівнобедрений трикутник - це трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. У нашому випадку, сторони $AB$ та $AC$ рівні одна одній.

Тепер давайте розглянемо бісектрису. Бісектриса - це пряма, яка ділить кут на дві рівні частини. У нашому випадку, бісектриса $AE$ ділить кут $BAC$ на два рівні кути.

Ми також маємо висоту $CD$. Висота - це пряма, яка проходить через вершину трикутника і перпендикулярна до протилежної сторони. В нашому випадку, висота $CD$ проходить через вершину $C$ і перпендикулярна до сторони $AB$.

Тепер, коли ми розібралися з визначеннями, почнемо розв"язувати задачу. Процес доведення можна розділити на декілька кроків:

Крок 1: Розглянемо трикутник $ABC$. Оскільки це рівнобедрений трикутник, то $AB=AC$.

Крок 2: Розглянемо кути в бісектрисному трикутнику $ACE$. Оскільки бісектриса $AE$ ділить кут $BAC$ на дві рівні частини, ми маємо $\mathrm{\angle }CAE=\mathrm{\angle }EAC$.

Крок 3: Розглянемо висоту $CD$. Відомо, що висота перпендикулярна до сторони $AB$, тому $\mathrm{\angle }ACD=90$ градусів.

Крок 4: Тепер ми маємо достатньо інформації для доведення твердження $AD=DE$. Зверніть увагу, що у трикутнику $ACE$ ми маємо рівні кути $\mathrm{\angle }CAE=\mathrm{\angle }EAC$ і $\mathrm{\angle }ACD=90$ градусів. За властивостями кутів у трикутнику, знаходиться кут $\mathrm{\angle }EAC=30$ градусів.

Крок 5: Оскільки ми знаємо, що $\mathrm{\angle }EAC=30$ градусів, а також $\mathrm{\angle }CAE=\mathrm{\angle }EAC$, то $\mathrm{\angle }CAE=30$ градусів.

Крок 6: Зверніть увагу, що у трикутнику $ACD$ ми маємо кути $\mathrm{\angle }ACD=90$ градусів і $\mathrm{\angle }CAE=30$ градусів. Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусам, давайте знайдемо третій кут: $180-90-30=60$. Отже, ми маємо $\mathrm{\angle }ACD=60$ градусів.

Крок 7: Тепер давайте зрозуміємо, чому $AD=DE$. Враховуючи властивості кутів у рівнобедреному трикутнику, ми маємо $AD=AC$ і $DE=DC$. Запишемо ці рівності.

Крок 8: Враховуючи, що $AB=AC$ як виявлено на кроці 1 і $AD=AC$ як виявлено на кроці 7, ми можемо записати $AB=AD$.

Крок 9: Зауважте, що ми також маємо $\mathrm{\angle }ACD=60$ градусів виявлене на кроці 6. Запишемо це.

Крок 10: За властивостями рівнобедреного трикутника, ми знаємо, що внутрішні кути при основі рівні. Таким чином, ми можемо записати $\mathrm{\angle }DAB=\mathrm{\angle }ACD=60$ градусів.

Крок 11: Отже, ми маємо рівні кути $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }DAB=60$ градусів, а також рівні сторони $AB=AD$. За властивостями рівнобедреного трикутника, ми можемо зробити висновок, що $AD=DE$.

Таким чином, ми довели, що $AD=DE$ у рівнобедреному трикутнику $ABC$ з кутом при вершині $C$ рівним 120 градусів, коли проведено бісектрису $AE$ і висоту $CD$.