Яка рівність в доведенні стверджує, що AD=DE у рівнобедреному трикутнику ABC з кутом при вершині C, рівним

Leonid

49

Для доведення твердження, що \(AD = DE\) у рівнобедреному трикутнику \(ABC\) з кутом при вершині \(C\) рівним 120 градусів, коли проведено бісектрису \(AE\) і висоту \(CD\), ми можемо скористатися декількома властивостями рівнобедреного трикутника та його бісектриси.

Перш ніж продовжувати, давайте з"ясуємо, що таке рівнобедрений трикутник. Рівнобедрений трикутник - це трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. У нашому випадку, сторони \(AB\) та \(AC\) рівні одна одній.

Тепер давайте розглянемо бісектрису. Бісектриса - це пряма, яка ділить кут на дві рівні частини. У нашому випадку, бісектриса \(AE\) ділить кут \(BAC\) на два рівні кути.

Ми також маємо висоту \(CD\). Висота - це пряма, яка проходить через вершину трикутника і перпендикулярна до протилежної сторони. В нашому випадку, висота \(CD\) проходить через вершину \(C\) і перпендикулярна до сторони \(AB\).

Тепер, коли ми розібралися з визначеннями, почнемо розв"язувати задачу. Процес доведення можна розділити на декілька кроків:

Крок 1: Розглянемо трикутник \(ABC\). Оскільки це рівнобедрений трикутник, то \(AB = AC\).

Крок 2: Розглянемо кути в бісектрисному трикутнику \(ACE\). Оскільки бісектриса \(AE\) ділить кут \(BAC\) на дві рівні частини, ми маємо \(\angle CAE = \angle EAC\).

Крок 3: Розглянемо висоту \(CD\). Відомо, що висота перпендикулярна до сторони \(AB\), тому \(\angle ACD = 90\) градусів.

Крок 4: Тепер ми маємо достатньо інформації для доведення твердження \(AD = DE\). Зверніть увагу, що у трикутнику \(ACE\) ми маємо рівні кути \(\angle CAE = \angle EAC\) і \(\angle ACD = 90\) градусів. За властивостями кутів у трикутнику, знаходиться кут \(\angle EAC = 30\) градусів.

Крок 5: Оскільки ми знаємо, що \(\angle EAC = 30\) градусів, а також \(\angle CAE = \angle EAC\), то \(\angle CAE = 30\) градусів.

Крок 6: Зверніть увагу, що у трикутнику \(ACD\) ми маємо кути \(\angle ACD = 90\) градусів і \(\angle CAE = 30\) градусів. Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусам, давайте знайдемо третій кут: \(180 - 90 - 30 = 60\). Отже, ми маємо \(\angle ACD = 60\) градусів.

Крок 7: Тепер давайте зрозуміємо, чому \(AD = DE\). Враховуючи властивості кутів у рівнобедреному трикутнику, ми маємо \(AD = AC\) і \(DE = DC\). Запишемо ці рівності.

Крок 8: Враховуючи, що \(AB = AC\) як виявлено на кроці 1 і \(AD = AC\) як виявлено на кроці 7, ми можемо записати \(AB = AD\).

Крок 9: Зауважте, що ми також маємо \(\angle ACD = 60\) градусів виявлене на кроці 6. Запишемо це.

Крок 10: За властивостями рівнобедреного трикутника, ми знаємо, що внутрішні кути при основі рівні. Таким чином, ми можемо записати \(\angle DAB = \angle ACD = 60\) градусів.

Крок 11: Отже, ми маємо рівні кути \(\angle ADB = \angle DAB = 60\) градусів, а також рівні сторони \(AB = AD\). За властивостями рівнобедреного трикутника, ми можемо зробити висновок, що \(AD = DE\).

Таким чином, ми довели, що \(AD = DE\) у рівнобедреному трикутнику \(ABC\) з кутом при вершині \(C\) рівним 120 градусів, коли проведено бісектрису \(AE\) і висоту \(CD\).