Какой остаток получится при делении многочлена х^3+5х^2+7х+к-5 на двучлен (х+1), используя теорему Безу?

Druzhok

62

Для решения этой задачи мы можем применить теорему Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена \(f(x)\) на двучлен \(g(x)\) равен \(f(-c)\), где \(c\) - корень двучлена \(g(x)\).

В данном случае у нас есть многочлен \(f(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + к - 5\) и двучлен \(g(x) = x + 1\). Нам нужно найти остаток от деления \(f(x)\) на \(g(x)\).

Для начала найдем корень двучлена \(g(x) = x + 1\). Чтобы найти корень, приравняем \(g(x)\) к нулю и решим уравнение:

\[x + 1 = 0\]

Вычитаем 1 из обеих сторон:

\[x = -1\]

Таким образом, корень двучлена \(g(x) = x + 1\) равен \(-1\).

Теперь, согласно теореме Безу, мы можем найти остаток от деления \(f(x)\) на \(g(x)\), подставив \(-1\) вместо \(x\) в \(f(x)\):

\[f(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + к - 5\]

Выполняем возведение в степень и упрощаем выражение:

\[-1 + 5 + (-7) + к - 5\]

Проводим операции сложения и получаем окончательный результат:

\(к - 8\)

Таким образом, остаток от деления многочлена \(x^3 + 5x^2 + 7x + к - 5\) на двучлен \(x + 1\) равен \(к - 8\).