Какой остаток получится при делении многочлена х^3+5х^2+7х+к-5 на двучлен (х+1), используя теорему Безу?

Druzhok

62

Для решения этой задачи мы можем применить теорему Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $g(x)$ равен $f(-c)$, где $c$ - корень двучлена $g(x)$.

В данном случае у нас есть многочлен $f(x)=x^3+5x^2+7x+к-5$ и двучлен $g(x)=x+1$. Нам нужно найти остаток от деления $f(x)$ на $g(x)$.

Для начала найдем корень двучлена $g(x)=x+1$. Чтобы найти корень, приравняем $g(x)$ к нулю и решим уравнение:

$$x+1=0$$

Вычитаем 1 из обеих сторон:

$$x=-1$$

Таким образом, корень двучлена $g(x)=x+1$ равен $-1$.

Теперь, согласно теореме Безу, мы можем найти остаток от деления $f(x)$ на $g(x)$, подставив $-1$ вместо $x$ в $f(x)$:

$$f(-1)=(-1{)}^3+5(-1{)}^2+7(-1)+к-5$$

Выполняем возведение в степень и упрощаем выражение:

$$-1+5+(-7)+к-5$$

Проводим операции сложения и получаем окончательный результат:

$к-8$

Таким образом, остаток от деления многочлена $x^3+5x^2+7x+к-5$ на двучлен $x+1$ равен $к-8$.