Яка сила натягу нитки (у ньютонах), необхідна для рівномірного обертання кульки масою 1 кг по горизонтальній площині

Святослав

61

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать закон сохранения момента импульса. Мы знаем, что момент импульса это произведение массы и скорости вращения, а также момента инерции.

Момент инерции круглого тела с массой \( m \) и радиусом \( r \) относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, выражается следующей формулой:

\[ I = \frac{1}{2} m r^2 \]

В данном случае масса кульки равна 1 кг, а радиус кола составляет 60 см или 0,6 м. Подставляя данные значения в формулу, получаем:

\[ I = \frac{1}{2} \times 1 \, \text{кг} \times (0,6 \, \text{м})^2 = 0,18 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Поскольку мы хотим, чтобы кулька вращалась равномерно, то момент силы натягу нитки должен создавать ускорение кульки, равное центростремительному ускорению.

Центростремительное ускорение можно найти по формуле:

\[ a = \frac{{v^2}}{{r}} \]

где \( v \) - линейная скорость, \( r \) - радиус окружности, по которой движется кулька.

Так как кулька вращается равномерно, то линейная скорость связана с угловой скоростью \( \omega \) следующим соотношением:

\[ v = r \omega \]

Угловая скорость \( \omega \) определяется как:

\[ \omega = \frac{{2 \pi}}{{T}} \]

где \( T \) - период обращения кульки.

Период обращения кульки зависит от скорости вращения \( N \) и радиуса \( r \):

\[ T = \frac{1}{{N}} \]

Теперь мы можем записать выражение для ускорения \( a \), заменив \( v \) и \( \omega \) на соответствующие значения:

\[ a = \frac{{(r \omega)^2}}{{r}} = \frac{{r^2 \omega^2}}{{r}} = r \omega^2 \]

Подставляя значение \( \omega \):

\[ a = r \left( \frac{{2 \pi}}{{T}} \right)^2 = r \left( \frac{{2 \pi}}{{\frac{1}{{N}}}} \right)^2 = 4 \pi^2 N^2 r \]

Теперь мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы найти силу натягу нитки:

\[ F = m \cdot a \]

Подставляя известные значения \( m \) и \( a \):

\[ F = 1 \, \text{кг} \cdot 4 \pi^2 N^2 \cdot 0,6 \, \text{м} = 2,4 \pi^2 N^2 \, \text{Н} \]

Таким образом, для равномерного вращения кульки с массой 1 кг по горизонтальной плоскости достаточна сила натягу нитки \( F = 2,4 \pi^2 N^2 \, \text{Н} \). При этом, \( N \) - количество оборотов кульки в секунду.