Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1

Солнечный_Феникс_3831

24

Чтобы представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1 и 3, нам нужно использовать некоторые математические методы.

Давайте предположим, что первое число в нашей сумме равно $x$, второе число будет $3x$ (так как они должны быть пропорциональными 1 и 3), а третье число будет $y$.

Тогда мы можем записать наше уравнение как: $x+3x+y=78$.

Объединяя коэффициенты $x$, получаем: $4x+y=78$.

Теперь нам нужно минимизировать сумму квадратов этих трех чисел. Пусть это будет функция $S=x^2+(3x{)}^2+y^2$.

Мы можем выразить одну переменную (например, $y$) через другую (например, $x$) и подставить в нашу функцию $S$, чтобы получить функцию от одной переменной.

Раскрывая скобки и суммируя, получаем: $S=10x^2+y^2$.

Теперь нам нужно найти минимум этой квадратичной функции. Для этого мы можем взять производную функции по $x$ и приравнять ее к нулю. Получившееся уравнение поможет нам найти оптимальное значение $x$.

$\frac{dS}{dx}=20x$.

Приравнивая производную к нулю, получаем: $20x=0$. Решение этого уравнения дает нам $x=0$.

Однако, по условию задачи, числа должны быть положительными. Поэтому отбрасываем решение $x=0$ и находим другое значение $x$.

Итак, нам нужно решить уравнение $4x+y=78$ при условии, что $x>0$ и $y>0$.

Можно использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы решить это уравнение. Предлагаю воспользоваться методом подстановки.

Пусть $y=78-4x$.

Теперь мы можем подставить это значение $y$ в нашу квадратичную функцию:

$S=10x^2+(78-4x{)}^2$.

Раскрывая скобки и суммируя, получаем: $S=10x^2+6084-624x+16x^2$.

Упрощая выражение, получаем: $S=26x^2-624x+6084$.

Теперь, чтобы найти минимум функции, мы можем взять производную функции по $x$ и приравнять ее к нулю:

$\frac{dS}{dx}=52x-624$.

Приравнивая производную к нулю, получаем: $52x-624=0$.

Решая это уравнение, находим $x=12$.

Теперь, используя это значение $x$ и подставляя его в наше предыдущее выражение $y=78-4x$, мы можем найти $y$:

$y=78-4\cdot 12=78-48=30$.

Таким образом, числа, которые соответствуют условию задачи, равны: $x=12$, $3x=3\cdot 12=36$ и $y=30$. Это означает, что число 78 можно представить в виде суммы трех положительных чисел так, что два из них (12 и 36) пропорциональны 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел минимальна.

Проверим наше решение, подставив найденные значения чисел в исходное уравнение:

$12+36+30=78$.

И это верное решение.