Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1

Солнечный_Феникс_3831

24

Чтобы представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1 и 3, нам нужно использовать некоторые математические методы.

Давайте предположим, что первое число в нашей сумме равно \(x\), второе число будет \(3x\) (так как они должны быть пропорциональными 1 и 3), а третье число будет \(y\).

Тогда мы можем записать наше уравнение как: \(x + 3x + y = 78\).

Объединяя коэффициенты \(x\), получаем: \(4x + y = 78\).

Теперь нам нужно минимизировать сумму квадратов этих трех чисел. Пусть это будет функция \(S = x^2 + (3x)^2 + y^2\).

Мы можем выразить одну переменную (например, \(y\)) через другую (например, \(x\)) и подставить в нашу функцию \(S\), чтобы получить функцию от одной переменной.

Раскрывая скобки и суммируя, получаем: \(S = 10x^2 + y^2\).

Теперь нам нужно найти минимум этой квадратичной функции. Для этого мы можем взять производную функции по \(x\) и приравнять ее к нулю. Получившееся уравнение поможет нам найти оптимальное значение \(x\).

\(\frac{dS}{dx} = 20x\).

Приравнивая производную к нулю, получаем: \(20x = 0\). Решение этого уравнения дает нам \(x = 0\).

Однако, по условию задачи, числа должны быть положительными. Поэтому отбрасываем решение \(x = 0\) и находим другое значение \(x\).

Итак, нам нужно решить уравнение \(4x + y = 78\) при условии, что \(x > 0\) и \(y > 0\).

Можно использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы решить это уравнение. Предлагаю воспользоваться методом подстановки.

Пусть \(y = 78 - 4x\).

Теперь мы можем подставить это значение \(y\) в нашу квадратичную функцию:

\(S = 10x^2 + (78 - 4x)^2\).

Раскрывая скобки и суммируя, получаем: \(S = 10x^2 + 6084 - 624x + 16x^2\).

Упрощая выражение, получаем: \(S = 26x^2 - 624x + 6084\).

Теперь, чтобы найти минимум функции, мы можем взять производную функции по \(x\) и приравнять ее к нулю:

\(\frac{dS}{dx} = 52x - 624\).

Приравнивая производную к нулю, получаем: \(52x - 624 = 0\).

Решая это уравнение, находим \(x = 12\).

Теперь, используя это значение \(x\) и подставляя его в наше предыдущее выражение \(y = 78 - 4x\), мы можем найти \(y\):

\(y = 78 - 4 \cdot 12 = 78 - 48 = 30\).

Таким образом, числа, которые соответствуют условию задачи, равны: \(x = 12\), \(3x = 3 \cdot 12 = 36\) и \(y = 30\). Это означает, что число 78 можно представить в виде суммы трех положительных чисел так, что два из них (12 и 36) пропорциональны 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел минимальна.

Проверим наше решение, подставив найденные значения чисел в исходное уравнение:

\(12 + 36 + 30 = 78\).

И это верное решение.