Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1

  • 23
Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел была минимальной?
Солнечный_Феникс_3831
24
Чтобы представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1 и 3, нам нужно использовать некоторые математические методы.

Давайте предположим, что первое число в нашей сумме равно x, второе число будет 3x (так как они должны быть пропорциональными 1 и 3), а третье число будет y.

Тогда мы можем записать наше уравнение как: x+3x+y=78.

Объединяя коэффициенты x, получаем: 4x+y=78.

Теперь нам нужно минимизировать сумму квадратов этих трех чисел. Пусть это будет функция S=x2+(3x)2+y2.

Мы можем выразить одну переменную (например, y) через другую (например, x) и подставить в нашу функцию S, чтобы получить функцию от одной переменной.

Раскрывая скобки и суммируя, получаем: S=10x2+y2.

Теперь нам нужно найти минимум этой квадратичной функции. Для этого мы можем взять производную функции по x и приравнять ее к нулю. Получившееся уравнение поможет нам найти оптимальное значение x.

dSdx=20x.

Приравнивая производную к нулю, получаем: 20x=0. Решение этого уравнения дает нам x=0.

Однако, по условию задачи, числа должны быть положительными. Поэтому отбрасываем решение x=0 и находим другое значение x.

Итак, нам нужно решить уравнение 4x+y=78 при условии, что x>0 и y>0.

Можно использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы решить это уравнение. Предлагаю воспользоваться методом подстановки.

Пусть y=784x.

Теперь мы можем подставить это значение y в нашу квадратичную функцию:

S=10x2+(784x)2.

Раскрывая скобки и суммируя, получаем: S=10x2+6084624x+16x2.

Упрощая выражение, получаем: S=26x2624x+6084.

Теперь, чтобы найти минимум функции, мы можем взять производную функции по x и приравнять ее к нулю:

dSdx=52x624.

Приравнивая производную к нулю, получаем: 52x624=0.

Решая это уравнение, находим x=12.

Теперь, используя это значение x и подставляя его в наше предыдущее выражение y=784x, мы можем найти y:

y=78412=7848=30.

Таким образом, числа, которые соответствуют условию задачи, равны: x=12, 3x=312=36 и y=30. Это означает, что число 78 можно представить в виде суммы трех положительных чисел так, что два из них (12 и 36) пропорциональны 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел минимальна.

Проверим наше решение, подставив найденные значения чисел в исходное уравнение:

12+36+30=78.

И это верное решение.