Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1
Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1 и 3, а сумма квадратов этих трех чисел была минимальной?
Солнечный_Феникс_3831 24
Чтобы представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два из них были пропорциональны 1 и 3, нам нужно использовать некоторые математические методы.Давайте предположим, что первое число в нашей сумме равно
Тогда мы можем записать наше уравнение как:
Объединяя коэффициенты
Теперь нам нужно минимизировать сумму квадратов этих трех чисел. Пусть это будет функция
Мы можем выразить одну переменную (например,
Раскрывая скобки и суммируя, получаем:
Теперь нам нужно найти минимум этой квадратичной функции. Для этого мы можем взять производную функции по
Приравнивая производную к нулю, получаем:
Однако, по условию задачи, числа должны быть положительными. Поэтому отбрасываем решение
Итак, нам нужно решить уравнение
Можно использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы решить это уравнение. Предлагаю воспользоваться методом подстановки.
Пусть
Теперь мы можем подставить это значение
Раскрывая скобки и суммируя, получаем:
Упрощая выражение, получаем:
Теперь, чтобы найти минимум функции, мы можем взять производную функции по
Приравнивая производную к нулю, получаем:
Решая это уравнение, находим
Теперь, используя это значение
Таким образом, числа, которые соответствуют условию задачи, равны:
Проверим наше решение, подставив найденные значения чисел в исходное уравнение:
И это верное решение.