Які є відношення мас тіл, що коливаються, якщо періоди коливань їхніх пружинних маятників відносяться як 2/3?

Milana

66

Для розв"язання даної задачі нам потрібно знати, які відношення мас тіл, що коливаються, якщо періоди коливань їхніх пружинних маятників відносяться як 2/3.

Період коливання пружинного маятника залежить від кількох факторів, включаючи масу тіла і сили його пружини. Формула для обчислення періоду коливань пружинного маятника має вигляд:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

де T - період коливання, м - маса тіла, k - коефіцієнт пружності пружини.

Запишемо дані про періоди коливань двох тіл у вигляді співвідношення:

\[\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{3}\]

З цього виразу можна зрозуміти, що період коливань першого тіла ( \(T_1\) ) є двома третинами періоду коливань другого тіла ( \(T_2\) ).

Далі замінимо знайдені вирази в формулу для періоду коливань:

\[\frac{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_1}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}} = \frac{2}{3}\]

Спростимо вираз, зведемо дроби:

\[\frac{\sqrt{\frac{m_1}{k_1}}}{\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}} = \frac{2}{3}\]

Відкинемо однакові множники, щоб знайти співвідношення між масами тіл:

\[\sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{m_2}{k_2}}\]

Можна піднести обидві частини рівняння до квадрату для спрощення:

\[\frac{m_1}{k_1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\frac{m_2}{k_2}\]

Упорядковуючи вираз, ми маємо:

\[\frac{m_1}{k_1} = \frac{4}{9}\frac{m_2}{k_2}\]

Тепер ми можемо зробити вивід про відношення мас тіл:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{9}\frac{k_1}{k_2}\]

Отже, відношення мас тіл, що коливаються, буде рівне \(\frac{4}{9}\frac{k_1}{k_2}\).

Даний вираз показує, що відношення мас тіл залежить від відношення коефіцієнтів пружності їхніх пружин.