Які значення кінетичної енергії, часу гальмування і прискорення були виміряні для альфа-частинки, що вилетіла з ядра

Орел

21

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою для кінетичної енергії:

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]

де \(E_k\) - кінетична енергія, \(m\) - маса частинки і \(v\) - швидкість частинки.

Зауважте, що маса альфа-частинки, яка виходить з ядра радію, становить 4 атомних одиниці маси (a.u.m).

Почнемо з вимірами:

\(v = 15 \, \text{Мм/с} = 15 \times 10^6 \, \text{м/с}\)

\(d = 3,3 \, \text{см} = 3,3 \times 10^{-2} \, \text{м}\)

Будемо вважати, що час гальмування \(t\) - це час, за який альфа-частинка повністю зупиняється.

Запишемо рівняння руху для частинки:

\[d = v_0t + \frac{1}{2}at^2\]

де \(v_0\) - початкова швидкість, \(a\) - прискорення. Оскільки частинка повністю зупиняється, \(v_0 = v\) і \(d = 0\). Тому ми можемо спростити рівняння до:

\[0 = vt + \frac{1}{2}at^2\]

Дане рівняння містить дві невідомі - \(t\) і \(a\), але ми можемо використати вихідні дані щодо швидкості (\(v = 15 \times 10^6 \, \text{м/с}\)) для визначення прискорення.

Прискорення можна визначити за допомогою формули:

\[a = \frac{v^2}{2d}\]

Підставляючи відомі значення:

\[a = \frac{(15 \times 10^6 \, \text{м/с})^2}{2 \times 3,3 \times 10^{-2} \, \text{м}}\]

Простими обчисленнями:

\[a = \frac{225 \times 10^{12}}{6,6 \times 10^{-2}} \, \text{м/с}^2 \approx 34,09 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2\]

Тепер ми можемо використати це значення прискорення для визначення часу гальмування \(t\):

\[0 = (15 \times 10^6 \, \text{м/с})t + \frac{1}{2}(34,09 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2)t^2\]

Для розв"язання цього квадратного рівняння ми можемо скористатися коефіцієнтами \(a\), \(b\) і \(c\) у рівнянні \(at^2 + bt + c = 0\), де:

\[a = \frac{1}{2}(34,09 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2)\]

\[b = (15 \times 10^6 \, \text{м/с})\]

\[c = 0\]

Використовуючи формулу дискримінанта \(D = b^2 - 4ac\), ми можемо обчислити значення дискримінанта:

\[D = (15 \times 10^6 \, \text{м/с})^2 - 4 \times \frac{1}{2}(34,09 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2) \times 0\]

\[D = 225 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2 - 0\]

\[D = 225 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2\]

Дискримінант дорівнює нулю, це означає, що рівняння має один корінь.

З використанням формули коренів квадратного рівняння \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), ми можемо обчислити значення часу гальмування \(t\):

\[t = \frac{-(15 \times 10^6 \, \text{м/с}) \pm \sqrt{225 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2}}{2 \times \frac{1}{2}(34,09 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2)}\]

\[t = \frac{-(15 \times 10^6 \, \text{м/с}) \pm \sqrt{225 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2}}{34,09 \times 10^{12} \, \text{м/с}^2}\]

\[t = \frac{-15 \pm 15}{34,09}\]

\[t_1 = \frac{-15 + 15}{34,09} = 0\]

\[t_2 = \frac{-15 - 15}{34,09} \approx -0,877 \, \text{c}\]

Отже, наша альфа-частинка повністю зупинилася протягом часу гальмування \(t = -0,877 \, \text{c}\) (з врахуванням знака) або можна сказати, що частинка зупинилася миттєво.

Тепер, коли ми знаємо час гальмування \(t\) і прискорення \(a\), ми можемо використати формулу для кінетичної енергії, щоб визначити значення кінетичної енергії \(E_k\):

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]

\[E_k = \frac{1}{2}(4 \, \text{a.u.m}) \times (15 \times 10^6 \, \text{м/с})^2\]

\[E_k = \frac{1}{2} \times 4 \times (15 \times 10^6)^2 \, \text{Дж}\]

\[E_k \approx 450 \times 10^{12} \, \text{Дж}\]

Таким чином, кінетична енергія альфа-частинки становить приблизно \(450 \times 10^{12}\) Дж.

Отже, ми отримали значення кінетичної енергії, часу гальмування та прискорення для альфа-частинки, що вилетіла з ядра радію за заданої швидкості, пролетіла в повітрі і зупинилася.