Яким буде додаток п яти перших членів геометричної прогресії, якщо знаменник такої прогресії є додатним, а значення

Святослав

8

Давайте найдемо спочатку перший і другий члени геометричної прогресії.

Нехай \(a_1\) буде першим членом прогресії, а \(q\) буде знаменником прогресії (позитивним числом, за зазначеними умовами). Тоді другий член \(a_2\) може бути знайдено, використовуючи формулу для \(n\) -го члена геометричної прогресії:

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

Застосуємо цю формулу до другого члена прогресії:

\[a_2 = a_1 \cdot q^{2-1}\]

Ми знаємо, що третій член \(a_3\) не позначений, але може бути знайдений, якщо ми знаємо значення другого ( \(a_2\) ) та четвертого ( \(a_4\) ) членів прогресії. Використовуючи цю інформацію, ми можемо скласти два рівняння.

За умовою задачі:

\[a_4 = -108\]
\[a_6 = -972\]

Тепер підставимо \(-108\) для \(a_4\) і \(a_1 \cdot q^{3-1}\) для \(a_4\) у \(-972\):

\[-972 = a_1 \cdot q^{5-1}\]

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (\(a_1\) і \(q\)):

\[\begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q \\ -972 = a_1 \cdot q^4 \end{cases}\]

Ми можемо вирішити цю систему для знаходження значень \(a_1\) і \(q\).

Для цього розділимо другу рівність на першу рівність системи:

\[\frac{-972}{a_2} = \frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q}\]

Скоротимо \(a_1\) з обох боків:

\[\frac{-972}{a_2} = q^3\]

Тепер ми можемо знайти значення \(q\), піднісши обидві сторони до степеня 1/3:

\[\left(\frac{-972}{a_2}\right)^{1/3} = q\]

Отже, ми знайшли значення знаменника \(q\) геометричної прогресії. Тепер ми можемо знайти значення першого члена \(a_1\), використовуючи другу рівність системи:

\[-972 = a_1 \cdot \left(\left(\frac{-972}{a_2}\right)^{1/3}\right)^4\]

Ми знаємо, що піднесення до степеня 4 та перемноження двох значень дає від"ємний результат, тому ми можемо використовувати модуль для спрощення обчислення:

\[\left|-\frac{972}{a_2}\right| = |a_1| \cdot \left(\left(\frac{-972}{a_2}\right)^{1/3}\right)^4\]

Розділимо обидві сторони рівності на \(\left(\left(\frac{-972}{a_2}\right)^{1/3}\right)^4\) та вирішимо для \(|a_1|\):

\[|a_1| = \frac{\left|-\frac{972}{a_2}\right|}{\left(\left(\frac{-972}{a_2}\right)^{1/3}\right)^4}\]

Таким чином, ми знайшли значення модуля першого члена \(a_1\).

Щоб знайти суму перших п"яти членів геометричної прогресії, ми можемо використовувати формулу для суми \(n\) перших членів:

\[S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

В нашому випадку, \(n = 5\), \(a_1 = |a_1|\) (огляньтеся на знак міжнародного знаку) та \(q\) ми вже знайшли.

Підставте значення \(n\), \(a_1\) та \(q\) у формулу для суми перших п"яти членів геометричної прогресії:

\[S_5 = \frac{|a_1|(1 - q^5)}{1 - q}\]

Після підстановки числових значень \(|a_1|\) та \(q\) ви зможете обчислити суму \(S_5\).

Не забудьте перевірити свої обчислення, оскільки вони базовані на модулях \(|a_1|\) \(q\). Модуль означає, що ви вираховуєте значення за абсолютною величиною (без знаку).