Яким буде об єм конуса, який утвориться, якщо прямокутний трикутник з катетами 3 і 4 см, зробить один повний оберт

Margarita

2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h,\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Чтобы найти объем конуса, нам необходимо найти радиус основания и высоту конуса.

Исходя из данной задачи, известно, что меньшая сторона прямоугольного треугольника равна 3 см, а большая - 4 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) верно следующее соотношение:

\[a^2 + b^2 = c^2.\]

В данном случае, меньший катет равен 3 см, а больший равен 4 см. Давайте найдем гипотенузу треугольника:

\[c^2 = 3^2 + 4^2\]
\[c^2 = 9 + 16\]
\[c^2 = 25\]

Теперь возьмем квадратный корень обеих сторон:

\[c = \sqrt{25}\]
\[c = 5\]

Таким образом, получается, что гипотенуза треугольника равна 5 см. Это будет радиусом основания конуса.

Теперь нам нужно найти высоту конуса. В данной задаче, высота конуса будет равна меньшему катету прямоугольного треугольника, то есть 3 см.

Теперь мы можем использовать эти значения для вычисления объема конуса. Подставим значения радиуса и высоты в формулу:

\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 3\]
\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 3\]
\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 75\]
\[V \approx 78.54 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем конуса, образованного поворотом прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 см вокруг меньшего катета, составляет примерно 78.54 кубических сантиметров.