Яким буде рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x^2+3x-8, яка має паралельне рівняння прямої y=9x-1?

Stepan_9306

30

Для начала, нам нужно найти производную функции \(f(x) = x^2+3x-8\), чтобы найти угловой коэффициент дотичной к данному графику. Затем мы можем использовать уравнение прямой \(y = 9x-1\) и угловой коэффициент дотичной, чтобы найти саму дотичную.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x) = x^2+3x-8\).

Производная функции \(f(x)\) может быть найдена с помощью правила дифференцирования суммы, разности и произведения функций. Для данной функции мы можем использовать правило суммы и правило произведения.

Сначала найдем производную \(f"(x)\) по отдельности для каждого слагаемого:

\(\frac{d}{dx} (x^2) = 2x\) - производная \(x^2\)
\(\frac{d}{dx} (3x) = 3\) - производная \(3x\)
\(\frac{d}{dx} (-8) = 0\) - производная константы

Теперь сложим полученные производные:

\(f"(x) = 2x + 3\)

Шаг 2: Найдем угловой коэффициент дотичной к графику функции \(f(x)\).

Угловой коэффициент дотичной к графику функции в определенной точке можно найти, подставив значение \(x\) в производную функции. Найдем значение при \(x = a\), где \(a\) - произвольное число.

Угловой коэффициент дотичной к графику функции \(f(x)\) в точке \((a, f(a))\) будет равен \(f"(a)\).

Для данной функции, уравнение дотичной будет иметь угловой коэффициент \(f"(a)\).

Шаг 3: Найдем уравнение дотичной к графику функции \(f(x)\), которая параллельна прямой \(y=9x-1\).

Так как дотичная параллельна данной прямой, то угловой коэффициент дотичной должен быть равен угловому коэффициенту прямой \(9\).

Итак, у нас есть уравнение \(f"(a) = 9\). Подставим функцию \(f"(x) = 2x + 3\) в это уравнение и решим его:

\(2a + 3 = 9\)

Вычтем 3 из обеих сторон:

\(2a = 6\)

Разделим обе стороны на 2:

\(a = 3\)

Таким образом, чтобы дотичная была параллельна прямой \(y = 9x - 1\) у нас должна быть точка пересечения между дотичной и графиком функции \(f(x)\), в которой \(x = 3\).

Шаг 4: Найдем значение функции \(f(x)\) при \(x = 3\).

Подставим \(x = 3\) в исходную функцию \(f(x) = x^2 + 3x - 8\):

\(f(3) = 3^2 + 3\cdot 3 - 8 = 9 + 9 - 8 = 10\)

Итак, точка пересечения дотичной и графика функции \(f(x)\) будет иметь координаты \((3, 10)\).

Шаг 5: Используем уравнение прямой \(y = mx + b\) и координаты точки дотичной \((3, 10)\), чтобы найти значение \(b\).

Подставим \(x = 3\), \(y = 10\) и \(m = 9\) в уравнение прямой:

\(10 = 9 \cdot 3 + b\)

Решим уравнение:

\(10 = 27 + b\)

Вычтем 27 из обеих сторон:

\(-17 = b\)

Таким образом, уравнение дотичной к графику функции \(f(x)\), которая параллельна прямой \(y = 9x - 1\), имеет вид \(y = 9x - 17\).

Итак, ответ: уравнение дотичной к графику функции \(f(x) = x^2+3x-8\), которая параллельна прямой \(y = 9x - 1\), имеет вид \(y = 9x - 17\).