Який шлях, у метрах, пройшла матеріальна точка протягом четвертої секунди, якщо вона подолала 5 метрів за першу секунду

Летающий_Космонавт

57

Для розв"язання цієї задачі, ми можемо скористатися формулою для обчислення відстані, яку проходить матеріальна точка з однаково прискореним рухом. Формула виглядає так:

\[S = ut + \frac{1}{2}at^2\]

де:
- S - відстань, пройдена матеріальною точкою
- u - початкова швидкість
- a - прискорення
- t - час

Відомо, що матеріальна точка подолала 5 метрів за першу секунду. Запишемо це значення:

\[S_1 = 5 \, \text{м}\]

Також, відомо, що відстань, подолана за кожну наступну секунду, утричі більша, ніж попередня. Це означає, що відстань, пройдена за другу секунду, буде 3 рази більша за першу, за третю - 3 рази більша за другу, і так далі.

Запишемо ці співвідношення:

\[S_2 = 3S_1 = 3 \cdot 5 \, \text{м}\]
\[S_3 = 3S_2 = 3 \cdot (3S_1) = 3 \cdot (3 \cdot 5) \, \text{м}\]
\[S_4 = 3S_3 = 3 \cdot (3S_2) = 3 \cdot (3 \cdot (3S_1)) = 3 \cdot (3 \cdot (3 \cdot 5)) \, \text{м}\]

Тепер застосуємо формулу до кожного часового проміжку:

\[S_1 = u \cdot t_1 + \frac{1}{2}a \cdot t_1^2\]
\[S_2 = u \cdot t_2 + \frac{1}{2}a \cdot t_2^2\]
\[S_3 = u \cdot t_3 + \frac{1}{2}a \cdot t_3^2\]
\[S_4 = u \cdot t_4 + \frac{1}{2}a \cdot t_4^2\]

У нашому випадку, прискорення (a) залишається постійним, оскільки рух є однаково прискореним. Також, швидкість на початку руху (u) дорівнює нулю, оскільки матеріальна точка починає рухатися з положення спокою. Тоді формули спростяться:

\[S_1 = \frac{1}{2}a \cdot t_1^2\]
\[S_2 = \frac{1}{2}a \cdot t_2^2\]
\[S_3 = \frac{1}{2}a \cdot t_3^2\]
\[S_4 = \frac{1}{2}a \cdot t_4^2\]

Застосуємо значення відстаней, які ми отримали вище:

\[\frac{1}{2}a \cdot t_1^2 = 5 \, \text{м}\]
\[\frac{1}{2}a \cdot t_2^2 = 3 \cdot 5 \, \text{м}\]
\[\frac{1}{2}a \cdot t_3^2 = 3 \cdot (3 \cdot 5) \, \text{м}\]
\[\frac{1}{2}a \cdot t_4^2 = 3 \cdot (3 \cdot (3 \cdot 5)) \, \text{м}\]

Тепер ми можемо розв"язати цю систему рівнянь для знаходження значень \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\) і \(t_4\).

Рішеннями цієї системи рівнянь будуть:
\[t_1 = 1 \, \text{с}\]
\[t_2 = 2\]
\[t_3 = 3\]
\[t_4 = 4\]

Тоді, для знаходження шляху за четверту секунду, підставимо значення \(t_4\) в формулу \(S_4 = \frac{1}{2}a \cdot t_4^2\):

\[S_4 = \frac{1}{2}a \cdot (4^2)\]

Залишається тільки знайти значення \(a\) для обчислення \(S_4\), про що нам умова задачі не розповідає.