Який скалярний добуток між ВА та ВС у прямокутному трикутнику АВС, де АС дорівнює 5, ВС дорівнює 9 і ∠С = 90? Рішення
Який скалярний добуток між ВА та ВС у прямокутному трикутнику АВС, де АС дорівнює 5, ВС дорівнює 9 і ∠С = 90? Рішення потрібно.
Луна_В_Облаках 49
Для розрахунку скалярного добутку між двома векторами, ми використовуємо наступну формулу:\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta) \]
де \(\vec{AB}\) - вектор, який починається з точки А і закінчується в точці В,
\(\vec{AC}\) - вектор, який починається з точки А і закінчується в точці С,
|\vec{AB}| - довжина вектора \(\vec{AB}\),
|\vec{AC}| - довжина вектора \(\vec{AC}\),
\(\theta\) - кут між векторами \(\vec{AB}\) та \(\vec{AC}\).
У нашій задачі, вектор \(\vec{AB}\) відповідає стороні АВ прямокутного трикутника, вектор \(\vec{AC}\) відповідає стороні АС прямокутного трикутника.
Довжину вектора можна обчислити за допомогою формули:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
де \(x_1\) і \(y_1\) - координати точки А,
\(x_2\) і \(y_2\) - координати точки B.
Таким чином, для нашої задачі, ми маємо:
Довжина вектора \(\vec{AB}\):
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(9 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{81} = 9 \]
Довжина вектора \(\vec{AC}\):
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{25} = 5 \]
Кут між векторами \(\vec{AB}\) та \(\vec{AC}\) дорівнює 90 градусів, оскільки прямокутний трикутник.
Тепер, підставляючи значення в формулу для скалярного добутку, отримуємо:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta) = 9 \cdot 5 \cdot \cos(90^\circ) = 45 \cdot 0 = 0 \]
Таким чином, скалярний добуток між векторами \(\vec{AB}\) та \(\vec{AC}\) у прямокутному трикутнику АВС, де АС дорівнює 5, ВС дорівнює 9 і \(\angle С = 90^\circ\) дорівнює нулю.