Якщо суми трьох перших членів геометричної прогресії дорівнюють 9, а сума перших чотирьох членів дорівнює -15

Karamel

33

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии. Обратите внимание, что в формулировке задачи даны суммы первых трех и четырех членов прогрессии, а мы хотим найти значение четвертого члена.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(a\), а знаменатель равен \(q\). Тогда сумма первых трех членов геометрической прогрессии может быть записана следующим образом:

\[S_3 = a + aq + aq^2 = 9\]

А сумма первых четырех членов геометрической прогрессии записывается как:

\[S_4 = a + aq + aq^2 + aq^3 = -15\]

Теперь мы можем составить систему уравнений, чтобы найти значения \(a\) и \(q\). Вычитая уравнение \(S_3\) из уравнения \(S_4\), получаем:

\[S_4 - S_3 = aq^3 = -15 - 9\]

\[aq^3 = -24\]

Из этого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(q\):

\[a = \frac{{-24}}{{q^3}}\]

Теперь мы можем подставить это значение \(a\) в уравнение \(S_3\):

\[\frac{{-24}}{{q^3}} + \frac{{-24q}}{{q^3}} + \frac{{-24q^2}}{{q^3}} = 9\]

Умножим обе части уравнения на \(q^3\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[-24 - 24q - 24q^2 = 9q^3\]

Теперь получаем уравнение третьей степени относительно \(q\). Решив это уравнение, мы найдем значения \(q\) и соответственно \(a\).

После того, как мы найдем значения \(a\) и \(q\), мы можем вычислить четвертый член геометрической прогрессии, используя формулу:

\[b_4 = a \cdot q^3\]

Подставив найденные значения \(a\) и \(q\) в эту формулу, мы получим ответ.

Теперь давайте решим это уравнение и найдем значения \(a\), \(q\) и \(b_4\).