Знайдіть площу перетину площиною, проведеною через вершину конуса висотою h, під кутом β до площини основи. Ця площина

Anna

47

Хорошо, чтобы найти площадь пересечения плоскостью, проведенной через вершину конуса, необходимо разобраться в геометрии конуса и применить соответствующие формулы.

Первым шагом давайте найдем радиус основания конуса. Для этого сначала найдем длину хорды, стягивающей дугу α. Мы знаем, что угол α равен 90°, поэтому эта дуга является полуокружностью. Для нахождения длины хорды воспользуемся формулой:

\[Длина \,хорды = 2 \times Радиус_{окр.} \times sin \left( \frac{α}{2} \right)\]

Так как у нас α = 90°, то формула упрощается до:

\[Длина \,хорды = 2 \times Радиус_{окр.} \times sin(45°)\]

Кроме того, у нас задано, что α = 90°, что означает, что хорда будет проходить через центр окружности. Таким образом, радиус основания конуса будет равен половине длины хорды:

\[Радиус_{осн.} = \frac{Длина \,хорды}{2}\]

Подставим известные значения:

\[Радиус_{осн.} = \frac{2 \times Радиус_{окр.} \times sin(45°)}{2}\]

Далее, чтобы найти площадь пересечения, образованного этой плоскостью, можно воспользоваться формулой:

\[Площадь_{пересечения} = \frac{h^2 \times sin(β) \times cos(β)}{2}\]

Подставим известные значения:

\[Площадь_{пересечения} = \frac{(3\sqrt{2})^2 \times sin(60°) \times cos(60°)}{2}\]

Вычислим значения:

\[Площадь_{пересечения} = \frac{18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}}{2}\]

\[Площадь_{пересечения} = \frac{18 \times \frac{\sqrt{3}}{4}}{2}\]

\[Площадь_{пересечения} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, площадь пересечения плоскостью, проведенной через вершину конуса, составляет \(\frac{9\sqrt{3}}{4}\) единицы площади.