Является ли последовательность (bn), заданная формулой bn = 4*3^n-1, геометрической прогрессией? Предоставьте небольшое

Ястреб_7593

27

Для проверки, является ли последовательность (bn), заданная формулой \(b_n = 4 \cdot 3^{n-1}\), геометрической прогрессией, необходимо проанализировать отношение между соседними членами последовательности.

В геометрической прогрессии отношение между соседними членами должно быть постоянным. Для этого найдем это отношение для нашей последовательности:

\[r = \frac{{b_{n+1}}}{{b_n}} = \frac{{4 \cdot 3^n}}{{4 \cdot 3^{n-1}}} = \frac{{3^n}}{{3^{n-1}}} = \frac{{3^n}}{{3^n \cdot 3^{-1}}} = \frac{{3^n}}{{\frac{1}{{3}} \cdot 3^n}} = \frac{{3^n}}{{\frac{{3^n}}{{3}}} = \frac{{3^n}}{{\frac{{1}}{{3}}}} = 3 \cdot 3 = 9\]

Таким образом, отношение между соседними членами последовательности равно 9, что является постоянным значением. Следовательно, можно сделать вывод, что заданная последовательность (bn) является геометрической прогрессией с постоянным отношением 9.

Обоснование:
- Мы использовали формулу для общего члена геометрической прогрессии \(b_n = a \cdot r^{(n-1)}\), где \(a\) - первый член последовательности, \(r\) - отношение, \(n\) - номер члена.
- Вычислили отношение (\(r\)) между соседними членами последовательности и получили значение 9.
- Проанализировали полученное значение отношения и сделали вывод, что оно является постоянным, что говорит о том, что последовательность является геометрической прогрессией.