Является ли уравнение x2+y2-12y+z2-12z=4 уравнением сферы?

Плюшка_5588

14

Да, данное уравнение является уравнением сферы. Чтобы это понять, давайте разберемся в его структуре и свойствах.

Уравнение сферы имеет общий вид \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\), где \((a,b,c)\) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Теперь посмотрим на данное уравнение: \(x^2+y^2-12y+z^2-12z=4\). Мы видим, что в уравнении отсутствуют константы \(a\) и \(b\), что может сбить нас с толку. Однако, мы всегда можем превратить это уравнение в стандартный вид, выполнив несколько преобразований.

Давайте начнем с группировки переменных и переупорядочим их:
\[x^2+y^2+z^2-12y-12z=4\]
\[x^2+y^2+z^2-12y-12z+36=40\]
\[x^2+(y^2-12y+36)+(z^2-12z+36)=40\]
\[x^2+(y-6)^2+(z-6)^2=40\]

Теперь, когда у нас есть уравнение в стандартной форме, мы можем определить его характеристики. Центр сферы определяется координатами \((a, b, c)\), где \(a=0\), \(b=6\) и \(c=6\). Радиус сферы вычисляется как квадратный корень из правой части уравнения, то есть \(r=\sqrt{40}\).

Таким образом, данное уравнение \(x^2+y^2-12y+z^2-12z=4\) представляет собой уравнение сферы с центром в точке \((0, 6, 6)\) и радиусом \(\sqrt{40}\).

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как уравнение определяет сферу. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!