За допомогою графіка, знайдіть вирішення квадратної нерівності ax²+bx+c

Путешественник

54

Щоб знайти рішення квадратної нерівності \(ax^2 + bx + c < 0\), спочатку потрібно побудувати графік квадратичної функції \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Крок 1: Знайдіть вершину графіка. Формула для знаходження координат вершини графіка квадратичної функції -\(x_в = -\frac{b}{2a}\) і \(y_в = f(x_в)\).

Крок 2: Знайдіть значення функції \(f(x)\) у кількох точках з кожного боку від вершини. Для цього виберіть декілька значень \(x\), підставте їх в рівняння \(y = ax^2 + bx + c\) і знайдіть відповідні значення \(y\).

Крок 3: Побудуйте графік функції \(f(x)\), використовуючи отримані точки.

Крок 4: Визначте інтервали на графіку, де функція \(f(x)\) знаходиться нижче нуля. Ці інтервали вказують на рішення квадратної нерівності \(ax^2 + bx + c < 0\).

Наприклад, розглянемо квадратну нерівність \(x^2 - 4x - 5 < 0\) з коефіцієнтами \(a = 1\), \(b = -4\) і \(c = -5\).

Крок 1: Вершина графіка буде мати координати \(x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\) і \(y_в = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = -9\).

Крок 2: Підставимо декілька значень \(x\) у функцію \(f(x)\) і знайдемо значення \(y\):
- При \(x = 0\) маємо \(y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5\).
- При \(x = 5\) маємо \(y = 5^2 - 4 \cdot 5 - 5 = 0\).

Крок 3: Побудуємо графік, використовуючи отримані точки.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 7 \\
\hline
-1 & 10 \\
\hline
0 & -5 \\
\hline
1 & -6 \\
\hline
2 & -9 \\
\hline
3 & -8 \\
\hline
4 & -5 \\
\hline
5 & 0 \\
\hline
6 & 7 \\
\hline
\end{array}
\]

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{quadratic_inequality_graph.png}
\end{center}

Крок 4: За графіком можна побачити, що функція \(f(x) = x^2 - 4x - 5\) знаходиться нижче нуля на інтервалах \((-\infty, -1)\) та \((3, 4)\). Тому розв"язком квадратної нерівності \(x^2 - 4x - 5 < 0\) буде \(-1 < x < 4\).

Отже, розв"язок квадратної нерівності \(x^2 - 4x - 5 < 0\) є інтервал \(-1 < x < 4\).