За какое время каждый кран может заполнить бассейн, работая по отдельности, если два крана наполнили бассейн

Якобин

4

Для решения данной задачи, нам понадобится воспользоваться простым принципом работы и скоростью работы кранов.

Пусть первый кран наполняет бассейн со скоростью \(x\) минут, а второй кран со скоростью \(y\) минут. Мы знаем, что оба крана вместе заполняют бассейн за 15 минут.

Из условия задачи также следует, что первый кран был включен на 7 минут позже второго крана. То есть, второй кран работал 7 минут дольше.

Поэтому мы можем записать следующую систему уравнений:
\[
\begin{align*}
15x + 15y &= 1, \quad \text{(1)} \\
15y - 7x &= 7. \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Далее, мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), которые соответствуют времени, за которое каждый кран может заполнить бассейн по отдельности.

Решим систему уравнений. Для этого умножим уравнение (2) на 15, чтобы избавиться от дробей:
\[
\begin{align*}
15(15y - 7x) &= 15 \cdot 7 \\
225y - 105x &= 105.
\end{align*}
\]

Теперь сложим это новое уравнение (3) с уравнением (1), чтобы исключить переменную \(y\):
\[
\begin{align*}
15x + 15y + 225y - 105x &= 1 + 105 \\
-90x + 240y &= 106. \quad \text{(4)}
\end{align*}
\]

На данном этапе мы имеем систему двух линейных уравнений (1) и (4), содержащих две неизвестные переменные \(x\) и \(y\).

Теперь мы можем решить эту систему методом замены или методом сложения.

Сначала выразим \(y\) через \(x\) из уравнения (4):
\[
\begin{align*}
-90x + 240y &= 106 \\
240y &= 90x + 106 \\
y &= \frac{90x + 106}{240}.
\end{align*}
\]

Подставим это выражение для \(y\) в уравнение (1):
\[
\begin{align*}
15x + 15 \left(\frac{90x + 106}{240}\right) &= 1 \\
15x + \frac{1350x + 1590}{240} &= 1 \\
15x + \frac{1350x}{240} + \frac{1590}{240} &= 1 \\
15x + \frac{1350x}{240} &= 1 - \frac{1590}{240} \\
\frac{260x + 1350x}{240} &= \frac{240 - 1590}{240} \\
1610x &= -1350 \\
x &= \frac{-1350}{1610}.
\end{align*}
\]

Решив это уравнение, мы получаем значение:
\[
x \approx -0.8385.
\]

Однако, в данной задаче мы рассматриваем время работы кранов, которое не может быть отрицательным. Поэтому мы можем отбросить отрицательное решение и сосредоточиться только на положительном решении.

Таким образом, первый кран может заполнить бассейн за приблизительно \(0.8385\) минут.

Теперь, чтобы найти время работы второго крана, мы можем использовать уравнение (2):
\[
\begin{align*}
15y - 7 \cdot 0.8385 &= 7 \\
15y - 5.8695 &= 7 \\
15y &= 7 + 5.8695 \\
15y &= 12.8695 \\
y &= \frac{12.8695}{15}.
\end{align*}
\]

Решив это уравнение, мы получаем значение:
\[
y \approx 0.8579.
\]

Таким образом, второй кран может заполнить бассейн за приблизительно \(0.8579\) минут.

В итоге, время, за которое каждый кран может заполнить бассейн по отдельности, равно приблизительно \(0.8385\) минут для первого крана и \(0.8579\) минут для второго крана.

Обратите внимание, что данные значения были округлены до четырех знаков после запятой для удобства чтения, но при выполнении реального расчета, рекомендуется сохранить большее количество знаков.