За какое время одна труба, действуя отдельно, заполняет цистерну, если ей для этого требуется на три часа меньше

Sergeevich

16

Для решения данной задачи первым делом определим скорость заполнения каждой из труб. Обозначим скорость заполнения первой трубы как \( x \) (в единицах объема за час), а скорость заполнения второй трубы как \( y \) (в единицах объема за час).

Затем мы можем записать уравнения, описывающие скорость заполнения цистерны каждой из труб. Первой трубе для заполнения цистерны требуется время на 3 часа меньше, чем обоим трубам, действующим одновременно. То есть, если бы обе трубы действовали одновременно и заполнили бы цистерну за \( t \) часов, то первая труба заполнила бы цистерну за \( t + 3 \) часа. Тогда уравнение для первой трубы будет выглядеть так:

\[ \frac{V}{x} = t + 3 \]

где \( V \) - объем цистерны.

Для обоих труб вместе время заполнения цистерны равно \( t \) часам, поэтому уравнение для обеих труб будет выглядеть так:

\[ \frac{V}{x+y} = t \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения скоростей заполнения каждой из труб.

Давайте сначала решим первое уравнение относительно \( t \):

\[ t = \frac{V}{x} - 3 \]

Подставим это значение \( t \) во второе уравнение:

\[ \frac{V}{x+y} = \frac{V}{x} - 3 \]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (скорость заполнения одной из труб - \( x \)). Решим его:

\[ \frac{V}{x+y} = \frac{V}{x} - 3 \]

\[ \frac{V}{x+y} = \frac{V - 3(x+y)}{x} \]

\[ Vx = V(x+y) - 3x(x+y) \]

\[ Vx = Vx + Vy - 3x^2 - 3xy \]

\[ 0 = Vy - 3x^2 - 3xy \]

\[ 3x^2 + 3xy = Vy \]

\[ 3x(x+y) = Vy \]

\[ x(x+y) = \frac{Vy}{3} \]

\[ x^2 + xy = \frac{Vy}{3} \]

\[ x^2 + xy - \frac{Vy}{3} = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( x \). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + 4V\left(\frac{V}{3}\right)}}{2} \]

\[ x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + \frac{4V^2}{3}}}{2} \]

Таким образом, скорость заполнения одной трубы равна:

\[ x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + \frac{4V^2}{3}}}{2} \]

Теперь, после определения скорости заполнения одной трубы, мы можем найти время, за которое эта труба заполняет цистерну. Подставим выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ t = \frac{V}{x} - 3 \]

\[ t = \frac{V}{\frac{-y \pm \sqrt{y^2 + \frac{4V^2}{3}}}{2}} - 3 \]

Окончательно, время, за которое одна труба заполняет цистерну, равно:

\[ t = \frac{2V}{-y \pm \sqrt{y^2 + \frac{4V^2}{3}}} - 3 \]

Но так как данной задачи не достаточно условий, чтобы найти конкретные значения, мы можем оставить ответ в виде выражения.