Задача 1. Распределение вероятностей дискретной случайной величины задано следующим образом: X: 10; 12; 15; 17

Magicheskiy_Troll

27

Шаг 1: Определение значение а.
Дано распределение вероятностей дискретной случайной величины X и соответствующие вероятности p. Для определения значения а необходимо использовать свойство, согласно которому сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна 1.

Суммируем вероятности из задачи: 0,2 + 0,2 + 0,4 + 0,1 + а = 1

Выражаем значение а:
0,9 + а = 1
а = 1 - 0,9
а = 0,1

Таким образом, значение а равно 0,1.

Шаг 2: Построение графика полигона распределения.
Для построения графика полигона распределения нужно использовать значения случайной величины X по оси абсцисс и соответствующие вероятности p по оси ординат.

График полигона распределения:

\( \begin{array}{|c|c|} \hline X & p \\ \hline 10 & 0.2 \\ \hline 12 & 0.2 \\ \hline 15 & 0.4 \\ \hline 17 & 0.1 \\ \hline 21 & 0.1 \\ \hline \end{array} \)

Шаг 3: Нахождение функции распределения F(x) и построение ее графика.
Функция распределения F(X) в каждой точке x равна сумме вероятностей всех возможных исходов, не превышающих x.

F(X) = 0,2 при X ≤ 10
F(X) = 0,2 + 0,2 = 0,4 при X ≤ 12
F(X) = 0,2 + 0,2 + 0,4 = 0,8 при X ≤ 15
F(X) = 0,2 + 0,2 + 0,4 + 0,1 = 0,9 при X ≤ 17
F(X) = 0,2 + 0,2 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 1 при X ≤ 21

График функции распределения F(X):

/\
/ \
/ \
______/ \______
10 12 15 17 21

Шаг 4: Нахождение математического ожидания M(X), дисперсии D(X) и стандартного отклонения.
Математическое ожидание M(X) определяется как взвешенная сумма значений случайной величины X, где весом является вероятность P.

M(X) = 10*0,2 + 12*0,2 + 15*0,4 + 17*0,1 + 21*0,1 = 1,2 + 2,4 + 6 + 1,7 + 2,1 = 13,4

Дисперсия D(X) определяется как среднее арифметическое квадратов отклонений значений случайной величины X от ее математического ожидания.

D(X) = ( (10 - 13,4)^2 * 0,2 + (12 - 13,4)^2 * 0,2 + (15 - 13,4)^2 * 0,4 + (17 - 13,4)^2 * 0,1 + (21 - 13,4)^2 * 0,1 ) = (4,84 * 0,2 + 1,96 * 0,2 + 1,44 * 0,4 + 10,89 * 0,1 + 44,89 * 0,1 ) = 0,968 + 0,392 + 0,576 + 1,089 + 4,489 = 7,514

Стандартное отклонение (σ) равно квадратному корню из дисперсии.

σ = √D(X) = √7,514 ≈ 2,74

Таким образом, математическое ожидание M(X) равно 13,4, дисперсия D(X) равна 7,514, а стандартное отклонение σ примерно равно 2,74.