Задача 4. У вас есть две линейные функции f(x) и g(x). График функции f(x) проходит через точки А(0;2) и В(5;1). График

Artem

11

a) Чтобы представить функцию f(x) в виде формулы, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Первая точка - A(0;2). Заменяем $x$ и $y$ в уравнении прямой:
$$2=0\cdot k+b$$
$$2=b$$

Вторая точка - B(5;1):
$$1=5\cdot k+2$$
$$1-2=5k$$
$$-1=5k$$
$$k=-\frac{1}{5}$$

Таким образом, уравнение функции f(x) будет иметь вид:
$$f(x)=-\frac{1}{5}x+2$$

b) Теперь рассмотрим функцию g(x). Опять же, используем формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Первая точка - C(3;2). Заменяем $x$ и $y$ в уравнении прямой:
$$2=3\cdot k+b$$
$$2=3k+b$$

Вторая точка - D(-3;1):
$$1=-3\cdot k+b$$
$$1=-3k+b$$

Мы имеем систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}2=3k+b\\ 1=-3k+b\end{array}$$

Решим данную систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:
$$2-1=(3k+b)-(-3k+b)$$
$$1=3k+b+3k-b$$
$$1=6k$$
$$k=\frac{1}{6}$$

Подставим значение k в одно из уравнений:
$$1=-3\cdot \frac{1}{6}+b$$
$$1=-\frac{1}{2}+b$$
$$b=\frac{3}{2}$$

Таким образом, уравнение функции g(x) будет иметь вид:
$$g(x)=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$$

в) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций f(x) и g(x), нам нужно решить систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{5}x+2\\ y=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}\end{array}$$

Выразим $y$ из обоих уравнений:
$$y=-\frac{1}{5}x+2$$
$$y=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$$

Приравняем эти два выражения и решим полученное уравнение:
$$-\frac{1}{5}x+2=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$$

Упростим уравнение, умножив все члены на 30, чтобы избавиться от знаменателей:
$$-6x+60=5x+45$$

Сгруппируем $x$ члены и переместим числа на другую сторону уравнения:
$$-6x-5x=45-60$$
$$-11x=-15$$

Разделим обе части уравнения на -11:
$$x=\frac{-15}{-11}=\frac{15}{11}$$

Подставим найденное значение $x$ в одно из уравнений для нахождения $y$:
$$y=\frac{1}{6}\left(\frac{15}{11}\right)+\frac{3}{2}$$
$$y=\frac{5}{22}+\frac{33}{22}$$
$$y=\frac{5+33}{22}$$
$$y=\frac{38}{22}$$
$$y=\frac{19}{11}$$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) будут $(\frac{15}{11},\frac{19}{11})$.