Задача 4. У вас есть две линейные функции f(x) и g(x). График функции f(x) проходит через точки А(0;2) и В(5;1). График

Artem

11

a) Чтобы представить функцию f(x) в виде формулы, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Первая точка - A(0;2). Заменяем \(x\) и \(y\) в уравнении прямой:
\[2 = 0 \cdot k + b\]
\[2 = b\]

Вторая точка - B(5;1):
\[1 = 5 \cdot k + 2\]
\[1 - 2 = 5k\]
\[-1 = 5k\]
\[k = -\frac{1}{5}\]

Таким образом, уравнение функции f(x) будет иметь вид:
\[f(x) = -\frac{1}{5}x + 2\]

b) Теперь рассмотрим функцию g(x). Опять же, используем формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Первая точка - C(3;2). Заменяем \(x\) и \(y\) в уравнении прямой:
\[2 = 3 \cdot k + b\]
\[2 = 3k + b\]

Вторая точка - D(-3;1):
\[1 = -3 \cdot k + b\]
\[1 = -3k + b\]

Мы имеем систему уравнений:
\[\begin{cases} 2 = 3k + b \\ 1 = -3k + b \end{cases}\]

Решим данную систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:
\[2 - 1 = (3k + b) - (-3k + b)\]
\[1 = 3k + b + 3k - b\]
\[1 = 6k\]
\[k = \frac{1}{6}\]

Подставим значение k в одно из уравнений:
\[1 = -3 \cdot \frac{1}{6} + b\]
\[1 = -\frac{1}{2} + b\]
\[b = \frac{3}{2}\]

Таким образом, уравнение функции g(x) будет иметь вид:
\[g(x) = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}\]

в) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций f(x) и g(x), нам нужно решить систему уравнений:
\[\begin{cases} y = -\frac{1}{5}x + 2 \\ y = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2} \end{cases}\]

Выразим \(y\) из обоих уравнений:
\[y = -\frac{1}{5}x + 2\]
\[y = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}\]

Приравняем эти два выражения и решим полученное уравнение:
\[-\frac{1}{5}x + 2 = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}\]

Упростим уравнение, умножив все члены на 30, чтобы избавиться от знаменателей:
\[-6x + 60 = 5x + 45\]

Сгруппируем \(x\) члены и переместим числа на другую сторону уравнения:
\[-6x - 5x = 45 - 60\]
\[-11x = -15\]

Разделим обе части уравнения на -11:
\[x = \frac{-15}{-11} = \frac{15}{11}\]

Подставим найденное значение \(x\) в одно из уравнений для нахождения \(y\):
\[y = \frac{1}{6}\left(\frac{15}{11}\right) + \frac{3}{2}\]
\[y = \frac{5}{22} + \frac{33}{22}\]
\[y = \frac{5 + 33}{22}\]
\[y = \frac{38}{22}\]
\[y = \frac{19}{11}\]

Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) будут \(\left(\frac{15}{11}, \frac{19}{11}\right)\).