Знайдіть, будь ласка, довжину лінії перетину сфери з площиною, що знаходиться на відстані 2 см від центру сфери, якщо

Marat

38

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические соображения. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Рассмотрим сферу с центром в точке O и радиусом r, а также плоскость, которая находится на расстоянии 2 см от центра сферы. Давайте обозначим точку пересечения сферы и плоскости как A.

Шаг 2: Проведем радиус сферы, идущий через точку A. Обозначим его как AO. Этот радиус будет перпендикулярен плоскости.

Шаг 3: Обозначим плоскость, в которой лежит радиус AO, как BCD. Так как AO перпендикулярен плоскости, то точка A лежит на этой плоскости.

Шаг 4: Проведем прямую CD, пересекающую сферу в точке D. Также проведем перпендикуляр к плоскости BCD, проходящий через точку D, и обозначим его как DE.

Шаг 5: Рассмотрим треугольник ADE. По определению треугольника, у него есть три стороны: AD, DE и AE. Нам нужно найти длину линии пересечения сферы и плоскости, то есть сторону AE треугольника ADE.

Шаг 6: Заметим, что радиус AO - это гипотенуза прямоугольного треугольника ADO, где OD равен 2 см (так как плоскость находится на расстоянии 2 см от центра сферы), а AO - это радиус сферы, который мы обозначили как r.

Шаг 7: Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ADO:
\(AD^2 = AO^2 - OD^2\)
\(AD^2 = r^2 - 2^2\)
\(AD = \sqrt{r^2 - 4}\)

Шаг 8: Также нам понадобится найти длину отрезка DE. Обратите внимание, что DE - это радиус сферы, проведенный через точку D, который также равен r. Таким образом, DE = r.

Шаг 9: Наконец, длина линии пересечения сферы и плоскости (или сторона AE треугольника ADE) равна:
\(AE = AD + DE = \sqrt{r^2 - 4} + r\)

Итак, мы получили длину линии пересечения сферы и плоскости, которая равна \(\sqrt{r^2 - 4} + r\).