Знайти площу прямокутника, який подібний даному прямокутнику з периметром. Периметр і площа даного прямокутника

Парящая_Фея_8336

67

Давайте решим эту задачу пошагово. Нам дан прямоугольник с периметром 18 см и площадью, которую мы должны найти.

Шаг 1: Найдем значения длин сторон прямоугольника. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[P = 2(a + b),\]

где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника. В нашем случае периметр равен 18 см, поэтому мы можем записать уравнение:

\[18 = 2(a + b).\]

Шаг 2: Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника - это произведение длины одной его стороны на длину другой стороны.

\[S = a \cdot b.\]

Нам нужно найти площадь прямоугольника, подобного данному прямоугольнику с известным периметром и площадью. Давайте обозначим новые длины сторон этого нового прямоугольника как \(x\) и \(y\). Тогда новая площадь прямоугольника будет:

\[S" = x \cdot y.\]

Шаг 3: Построим соотношение между новыми значениями длин сторон и площадью прямоугольников. Разделим площадь нового прямоугольника на площадь данного прямоугольника:

\[\frac{S"}{S} = \frac{x \cdot y}{a \cdot b}.\]

Шаг 4: Поскольку эти прямоугольники подобны, их соответствующие стороны имеют пропорциональные соотношения. Мы можем записать пропорцию:

\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b}.\]

Шаг 5: Используем найденное соотношение сторон для выразления одной переменной через другую. В уравнении из шага 4 можно выразить \(y\) через \(b\):

\[y = \frac{b \cdot x}{a}.\]

Шаг 6: Подставим полученное значение \(y\) в уравнение из шага 3:

\[\frac{x \cdot \left(\frac{b \cdot x}{a}\right)}{a \cdot b} = \frac{x^2}{a^2}.\]

Шаг 7a: Теперь мы можем использовать известные значения для выражения площади и периметра данного прямоугольника через \(a\) и \(b\). Заменим \(S\) и \(P\) в уравнении из шага 7 на их выражения из шага 1:

\[\frac{x^2}{a^2} = \frac{S"}{S} = \frac{x \cdot y}{a \cdot b} = \frac{x \cdot \left(\frac{b \cdot x}{a}\right)}{a \cdot b}.\]

Шаг 7b: Теперь упростим это уравнение:

\[\frac{x^2}{a^2} = \frac{x^2 \cdot b}{a^2 \cdot b}.\]

Шаг 8: Итак, у нас получилось уравнение:

\[\frac{x^2}{a^2} = \frac{x^2 \cdot b}{a^2 \cdot b}.\]

Шаг 9: Теперь мы можем сократить некоторые части уравнения:

\[1 = 1.\]

Шаг 10: Получаем, что уравнение верно для любых значений \(a\), \(b\) и \(x\). Это означает, что прямоугольник, подобный данному прямоугольнику с периметром и площадью, имеет такую же площадь равной 18 см.

Таким образом, площадь прямоугольника, подобного данному прямоугольнику с периметром 18 см и неизвестной площадью, также равна 18 см.