1) Given: 1) u(x0)=4 and u′(x0)=5; 2) v(x0)=5 and v′(x0)=3; 3) f(x)= u(x) v(x) Calculate the value of f′(x0): 2) Given

Добрый_Лис

62

Давайте начнем с первого вопроса. У нас есть функция \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\), и известно, что \(u(x_0) = 4\), \(u"(x_0) = 5\), \(v(x_0) = 5\) и \(v"(x_0) = 3\). Наша задача - вычислить значение \(f"(x_0)\).

Для начала, нам понадобятся знания о производных. Если \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\), то производная \(f"(x)\) представляет собой сумму произведений: одно слагаемое равно \(u(x) \cdot v"(x)\), а другое - \(u"(x) \cdot v(x)\). С этим важным правилом, давайте начнем решение задачи.

Для данной задачи у нас есть функция \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\). Известно, что \(u(x_0) = 4\), \(u"(x_0) = 5\), \(v(x_0) = 5\) и \(v"(x_0) = 3\). Чтобы найти значение \(f"(x_0)\), мы будем использовать правило производной произведения.

Выберем функцию \(u(x) = u(x_0) + u"(x_0)(x - x_0)\) как линейную аппроксимацию для функции \(u(x)\) в окрестности точки \(x_0\). Аналогично, функцию \(v(x) = v(x_0) + v"(x_0)(x - x_0)\) будем использовать для аппроксимации функции \(v(x)\) в окрестности точки \(x_0\).

Теперь у нас есть аппроксимации функций \(u(x)\) и \(v(x)\) в окрестности точки \(x_0\). Мы можем использовать эти аппроксимации, чтобы аппроксимировать функцию \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\). Подставим наши аппроксимации в функцию \(f(x)\):

\[f(x) = (u(x_0) + u"(x_0)(x - x_0)) \cdot (v(x_0) + v"(x_0)(x - x_0))\]

Теперь, чтобы найти значение \(f"(x_0)\), нам нужно найти производную функции \(f(x)\). Для этого разложим \(f(x)\) в ряд и найдем \(f"(x)\):

\[f(x) = u(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v"(x_0)(x - x_0) + u"(x_0)(x - x_0) \cdot v(x_0) + u"(x_0)(x - x_0) \cdot v"(x_0)(x - x_0)\]

Теперь найдем первую производную \(f"(x)\) этого разложения. Так как все слагаемые, кроме первого, содержат множители \((x - x_0)\), они обнулятся при вычислении производной, оставляя только первое слагаемое:

\[f"(x) = u(x_0) \cdot v"(x_0) + u"(x_0) \cdot v(x_0)\]

Наконец, подставим значение точки \(x_0\), чтобы найти \(f"(x_0)\):

\[f"(x_0) = u(x_0) \cdot v"(x_0) + u"(x_0) \cdot v(x_0)\]

Теперь мы можем подставить значения, которые даны в условии, и вычислить \(f"(x_0)\):

\[f"(x_0) = 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 = 12 + 25 = 37\]

Таким образом, значение \(f"(x_0)\) равно 37.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти производную функции \(F(x) = 4x^5 + 9x + 4\).

Для этого нам понадобятся правила дифференцирования. При дифференцировании функции \(x^n\), где \(n\) - некоторая константа, результат равен \(n \cdot x^{n-1}\). Также следует помнить, что производная суммы равна сумме производных.

Применим эти правила к функции \(F(x)\):

\[F"(x) = (4 \cdot 5)x^{5-1} + 9 \cdot 1 x^{1-1} + 0\]

Выполним вычисления:

\[F"(x) = 20x^4 + 9\]

Таким образом, производная функции \(F(x) = 4x^5 + 9x + 4\) равна \(F"(x) = 20x^4 + 9\).