1) Given: 1) u(x0)=4 and u′(x0)=5; 2) v(x0)=5 and v′(x0)=3; 3) f(x)= u(x) v(x) Calculate the value of f′(x0): 2) Given

Добрый_Лис

62

Давайте начнем с первого вопроса. У нас есть функция $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, и известно, что $u(x_0)=4$, $u"(x_0)=5$, $v(x_0)=5$ и $v"(x_0)=3$. Наша задача - вычислить значение $f"(x_0)$.

Для начала, нам понадобятся знания о производных. Если $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, то производная $f"(x)$ представляет собой сумму произведений: одно слагаемое равно $u(x)\cdot v"(x)$, а другое - $u"(x)\cdot v(x)$. С этим важным правилом, давайте начнем решение задачи.

Для данной задачи у нас есть функция $f(x)=u(x)\cdot v(x)$. Известно, что $u(x_0)=4$, $u"(x_0)=5$, $v(x_0)=5$ и $v"(x_0)=3$. Чтобы найти значение $f"(x_0)$, мы будем использовать правило производной произведения.

Выберем функцию $u(x)=u(x_0)+u"(x_0)(x-x_0)$ как линейную аппроксимацию для функции $u(x)$ в окрестности точки $x_0$. Аналогично, функцию $v(x)=v(x_0)+v"(x_0)(x-x_0)$ будем использовать для аппроксимации функции $v(x)$ в окрестности точки $x_0$.

Теперь у нас есть аппроксимации функций $u(x)$ и $v(x)$ в окрестности точки $x_0$. Мы можем использовать эти аппроксимации, чтобы аппроксимировать функцию $f(x)=u(x)\cdot v(x)$. Подставим наши аппроксимации в функцию $f(x)$:

$$f(x)=(u(x_0)+u"(x_0)(x-x_0))\cdot (v(x_0)+v"(x_0)(x-x_0))$$

Теперь, чтобы найти значение $f"(x_0)$, нам нужно найти производную функции $f(x)$. Для этого разложим $f(x)$ в ряд и найдем $f"(x)$:

$$f(x)=u(x_0)\cdot v(x_0)+u(x_0)\cdot v"(x_0)(x-x_0)+u"(x_0)(x-x_0)\cdot v(x_0)+u"(x_0)(x-x_0)\cdot v"(x_0)(x-x_0)$$

Теперь найдем первую производную $f"(x)$ этого разложения. Так как все слагаемые, кроме первого, содержат множители $(x-x_0)$, они обнулятся при вычислении производной, оставляя только первое слагаемое:

$$f"(x)=u(x_0)\cdot v"(x_0)+u"(x_0)\cdot v(x_0)$$

Наконец, подставим значение точки $x_0$, чтобы найти $f"(x_0)$:

$$f"(x_0)=u(x_0)\cdot v"(x_0)+u"(x_0)\cdot v(x_0)$$

Теперь мы можем подставить значения, которые даны в условии, и вычислить $f"(x_0)$:

$$f"(x_0)=4\cdot 3+5\cdot 5=12+25=37$$

Таким образом, значение $f"(x_0)$ равно 37.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти производную функции $F(x)=4x^5+9x+4$.

Для этого нам понадобятся правила дифференцирования. При дифференцировании функции $x^n$, где $n$ - некоторая константа, результат равен $n\cdot x^{n-1}$. Также следует помнить, что производная суммы равна сумме производных.

Применим эти правила к функции $F(x)$:

$$F"(x)=(4\cdot 5)x^{5-1}+9\cdot 1x^{1-1}+0$$

Выполним вычисления:

$$F"(x)=20x^4+9$$

Таким образом, производная функции $F(x)=4x^5+9x+4$ равна $F"(x)=20x^4+9$.