1) Какая сумма координат центра эллипса с уравнением 25x^2+4y^2+50x-24y-39=0? Только нужен ответ. 2) Найти квадрат
1) Какая сумма координат центра эллипса с уравнением 25x^2+4y^2+50x-24y-39=0? Только нужен ответ.
2) Найти квадрат эксцентриситета кривой с уравнением 16x^2-y^2-64x-6y+39=0. Только нужен ответ.
2) Найти квадрат эксцентриситета кривой с уравнением 16x^2-y^2-64x-6y+39=0. Только нужен ответ.
Pauk 10
Хорошо, вот решение ваших задач:1) Для нахождения координат центра эллипса, сначала перепишем уравнение эллипса в стандартной форме:
\[25x^2 + 4y^2 + 50x - 24y - 39 = 0\]
Разделим каждый член на 25 и получим:
\[x^2 + 2x + \frac{5}{4}y^2 - 6y + \frac{39}{25} = 0\]
Теперь мы можем переписать это уравнение в форме, которая помогает нам найти координаты центра. Для этого дополним члены, содержащие x и y, полными квадратами:
\[x^2 + 2x + 1 + \frac{5}{4}y^2 - 6y + 9 - 9 + \frac{39}{25} = 0\]
Приведем к общему знаменателю и преобразуем уравнение:
\[(x + 1)^2 + \frac{5}{4}(y - 3)^2 = \frac{9}{25}\]
Теперь мы видим, что это уравнение представляет эллипс, центр которого находится в точке (-1, 3). Сумма координат центра эллипса равна -1 + 3 = 2.
Таким образом, сумма координат центра эллипса равна 2.
2) Чтобы найти квадрат эксцентриситета кривой с уравнением 16x^2 - y^2 - 64x - 6y + 39 = 0, сначала перепишем уравнение в стандартной форме:
\[16x^2 - y^2 - 64x - 6y + 39 = 0\]
Теперь перегруппируем члены:
\[16x^2 - 64x - y^2 - 6y + 39 = 0\]
Преобразуем эту формулу, чтобы разделить коэффициенты x и y:
\[(16x^2 - 64x) - (y^2 + 6y) + 39 = 0\]
Для завершения квадратов разделим коэффициенты x и y на 16 и 1 соответственно:
\[16(x^2 - 4x) - (y^2 + 6y) + 39 = 0\]
Теперь добавим недостающие члены, чтобы создать полные квадраты:
\[16(x^2 - 4x + 4) - (y^2 + 6y + 9) + 39 - 16 \cdot 4 - 9 = 0\]
Упростим выражение:
\[16(x - 2)^2 - (y + 3)^2 + 4 = 0\]
Из этого уравнения мы видим, что это гипербола с центром в точке (2, -3). Эксцентриситет гиперболы можно найти по формуле \(\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\), где a и b - полуоси гиперболы.
В нашем случае a = 2 и b = 1, поэтому эксцентриситет:
\[e = \sqrt{1 + \frac{1^2}{2^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]
Также можно найти квадрат эксцентриситета, который равен \(e^2\):
\[e^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\]
Таким образом, квадрат эксцентриситета кривой равен \(\frac{5}{4}\).