1) Какие значения принимает функция y=x^2-2x-8? 2) В каком интервале функция возрастает? 3) Каково значение

Oblako

38

Решим задачу по порядку:

1) Чтобы найти значения, которые принимает функция \(y = x^2 - 2x - 8\), мы подставим различные значения \(x\) в эту функцию и найдем соответствующие значения \(y\). Давайте начнем:

Когда \(x = -2\), вычислим \(y\):
\[
y = (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0
\]

Таким образом, при \(x = -2\) значение функции \(y\) равно 0.

Когда \(x = -1\), вычислим \(y\):
\[
y = (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5
\]

Таким образом, при \(x = -1\) значение функции \(y\) равно -5.

Когда \(x = 0\), вычислим \(y\):
\[
y = (0)^2 - 2(0) - 8 = 0 - 0 - 8 = -8
\]

Таким образом, при \(x = 0\) значение функции \(y\) равно -8.

Когда \(x = 1\), вычислим \(y\):
\[
y = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9
\]

Таким образом, при \(x = 1\) значение функции \(y\) равно -9.

Когда \(x = 2\), вычислим \(y\):
\[
y = (2)^2 - 2(2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8
\]

Таким образом, при \(x = 2\) значение функции \(y\) равно -8.

Мы подставили разные значения \(x\) и получили соответствующие значения \(y\). Таким образом, функция \(y = x^2 - 2x - 8\) принимает следующие значения: 0, -5, -8 и -9.

2) Чтобы определить интервал, на котором функция возрастает, нам нужно найти значения \(x\), при которых производная функции положительна.

Сначала найдем производную функции \(y = x^2 - 2x - 8\). Производная позволяет нам анализировать изменение функции:

\[
y" = \frac{{dy}}{{dx}} = 2x - 2
\]

Затем приравняем производную к нулю и найдем значение \(x\):

\[
2x - 2 = 0
\]
\[
2x = 2
\]
\[
x = 1
\]

Теперь мы знаем, что когда \(x = 1\), производная равна 0.

Дальше мы можем построить таблицу знаков для производной на основе найденного \(x = 1\):
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x < 1 & x > 1 \\
\hline
+ & + \\
\hline
\end{array}
\]

Исходя из таблицы знаков, можно сделать вывод, что функция возрастает на интервале \(x > 1\).

3) Чтобы найти значение \(x\), при котором \(y\) будет равно конкретному числу, необходимо решить уравнение \(y = x^2 - 2x - 8\) относительно \(x\). Например, если мы хотим найти значение \(x\), при котором \(y = 3\), решим уравнение:

\[
x^2 - 2x - 8 = 3
\]

Перепишем уравнение в виде:

\[
x^2 - 2x - 11 = 0
\]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или факторизации. В этом конкретном случае, разложение на множители не является простым, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-11) = 4 + 44 = 48
\]

Дискриминант равен 48.

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

подставляем значения в формулу и вычисляем:

\[
x = \frac{{2 \pm \sqrt{48}}}{{2}} = \frac{{2 \pm 4\sqrt{3}}}{{2}} = 1 \pm 2\sqrt{3}
\]

Таким образом, при \(y = 3\) значение \(x\) равно \(1 \pm 2\sqrt{3}\).

То же самое мы можем проделать для других значений \(y\), подставляя конкретные числа в уравнение \(y = x^2 - 2x - 8\).

Это единственные корни функции \(y = x^2 - 2x - 8\), но они могут быть более точно изложены в виде \(x = 1 \pm 2\sqrt{3}\) в случае, когда \(y = 3\).