1) Каков фокусный радиус точки М на параболе у^2=20x, если абсцисса этой точки равна 7? 2) Какого вида кривая, исходя

Magnitnyy_Zombi

38

Задача 1: Давайте найдем фокусный радиус точки М на параболе \(y^2=20x\), если абсцисса этой точки равна 7.

Парабола задана в виде \(y^2=20x\). Мы знаем, что фокусный радиус - это расстояние от фокуса до точки на параболе, перпендикулярной оси симметрии параболы.

Для нахождения фокусного радиуса нам нужно найти координаты фокуса параболы.

Из уравнения параболы мы видим, что вершина параболы находится в начале координат (0,0), и фокус параболы расположен на оси симметрии параболы слева или справа от вершины.

Найдем координаты фокуса, используя формулы параболы. Формула фокусного радиуса в общем виде для параболы \(y^2=4ax\) имеет вид \(r=\frac{a}{2}\), где \(a\) - расстояние от фокуса до директрисы параболы.

Так как у нас парабола задана уравнением \(y^2=20x\), то \(a=5\).

Следовательно, фокусный радиус точки М будет равен \(\frac{5}{2}=2.5\). Таким образом, ответом на первую задачу является фокусный радиус \(r=2.5\).

Задача 2: Давайте разберемся с уравнением для определения вида кривой и найдем оси, фокусы и уравнение директрисы данной кривой.

Уравнение \(2x^2+3y^2+2x-1.5=0\) - это общее уравнение эллипса.

Общий вид уравнения эллипса имеет вид \(\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}}+\frac{{(y-k)^2}}{{b^2}}=1\), где \((h,k)\) - координаты центра эллипса, \(2a\) - ось абсцисс и \(2b\) - ось ординат.

Давайте перепишем заданное уравнение эллипса в общем виде.

\[2x^2+3y^2+2x-1.5=0\]
\[2(x^2+x)+3y^2-1.5=0\]

Мы видим, что коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) в этом уравнении разные, поэтому нам потребуется преобразование для приведения его к стандартному виду. Перейдем к новым переменным \(X\) и \(Y\), связанным с \(x\) и \(y\) следующим образом:

\[x=X-\frac{1}{4}\]
\[y=Y\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Подставляя эти выражения в уравнение эллипса, получим:

\[2\left(X-\frac{1}{4}\right)^2+3\left(Y\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2+2\left(X-\frac{1}{4}\right)-1.5=0\]

\[2\left(X^2-\frac{X}{4}+\frac{1}{16}\right)+3\left(\frac{2}{3}\right)Y^2+2\left(X-\frac{1}{4}\right)-1.5=0\]

\[2X^2-\frac{X}{2}+\frac{1}{8}+2X-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}Y^2-1.5=0\]

\[2X^2+\frac{3}{2}X+\frac{1}{3}Y^2+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-1.5=0\]

\[2X^2+\frac{3}{2}X+\frac{1}{3}Y^2-\frac{7}{8}=0\]

Теперь приведем это уравнение к стандартному виду:

\[\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1\]

Для этого нам нужно выразить \(X^2\) и \(Y^2\) отдельно:

\[2X^2+\frac{3}{2}X+\frac{1}{3}Y^2-\frac{7}{8}=0\]
\[2X^2+\frac{3}{2}X+\frac{1}{3}Y^2=\frac{7}{8}\]
\[X^2+\frac{3}{4}X+\frac{1}{6}Y^2=\frac{7}{16}\]
\[\left(X+\frac{3}{8}\right)^2+\frac{1}{6}Y^2=\frac{7}{16}+\frac{9}{64}\]
\[\left(X+\frac{3}{8}\right)^2+\frac{1}{6}Y^2=\frac{49}{48}\]

Теперь сравним это с уравнением стандартного эллипса:

\[\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1\]

Мы видим, что коэффициенты при \(X^2\) и \(Y^2\) одинаковые, поэтому получаем следующие значения:

\[a^2=\frac{49}{48}\]
\[b^2=1\]

Отсюда находим:

\[a=\sqrt{\frac{49}{48}}=\frac{7}{4\sqrt{3}}\]
\[b=1\]

Теперь определим оси эллипса. Так как \(a\) больше \(b\), осью эллипса будет горизонтальная ось \(X\), а осью ординат будет вертикальная ось \(Y\).

Найдем координаты фокусов эллипса. Для этого используем формулы:

\[c=\sqrt{a^2-b^2}\]
\[c=\sqrt{\left(\frac{7}{4\sqrt{3}}\right)^2-1}\]
\[c=\sqrt{\frac{49}{48}-1}\]
\[c=\sqrt{-\frac{47}{48}}\]

Так как \(c\) является мнимым числом, то данная эллипс является вырожденной фигурой и не имеет фокусов.

Найдем уравнение директрисы эллипса. Для этого используем формулу:

\[d=\pm\frac{a^2}{c}\]
\[d=\pm\frac{\left(\frac{7}{4\sqrt{3}}\right)^2}{\sqrt{-\frac{47}{48}}}\]
\[d=\pm\frac{\frac{49}{48}}{\sqrt{-\frac{47}{48}}}\]
\[d=\pm\frac{49}{\sqrt{-47}}\]

Итак, ответ на вторую задачу:

- Вид кривой: эллипс.
- Оси эллипса: ось абсцисс (горизонтальная ось) и ось ординат (вертикальная ось).
- Фокусы: они отсутствуют, так как данная эллипс является вырожденной фигурой.
- Уравнение директрисы: \(d=\pm\frac{49}{\sqrt{-47}}\).
- График данного эллипса не может быть построен, так как фокусы отсутствуют и уравнение директрисы имеет мнимые значения.